Demostrar que un espacio que tenía la propiedad de punto fijo debe estar conectado.

Question

Un espacio X se dice que tiene la propiedad de punto fijo si cada mapa $f: X \to X$ tiene un punto fijo, es decir, un $x_0 \in X$ tal que $f(x_0) = x_0$. Demostrar que un espacio que tenía la propiedad de punto fijo debe estar conectado.

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completamente atascados en it.can alguien ayudarme please.thanks por su tiempo

Answer 1

Supongamos que $X$ puede ser escrito como la Unión separada de dos conjuntos abiertos $O_1$ y $O_2$. Que $x_1 \in O_1$ y $x_2 \in O_2$. Puede mostrar que si $f : X \to X$ es tal que $f(x)=x_1$el % si $x \in O_2$ y $f(x)=x_2$ $x \in O_1$, entonces el $f$ es continua y no hay punto fijo.