¿Qué pasa si eliminamos el requisito de que $ \langle R, + \rangle $ es abeliana de la definición de un anillo?

Question

Desde que aprendí la definición de un anillo, me he preguntado por qué se requiere que el grupo de aditivos sea abeliano. ¿Qué pasa si permitimos $ \langle R, + \rangle $ de ser no etiquetados, así como $ \langle R, \cdot \rangle $ ? ¿Es esto imposible? Si no, ¿cómo se llama este tipo de estructura algebraica?

Esta es la definición de un anillo que estoy usando:

• $ \langle R , + \rangle $ es un grupo abeliano con identidad $0$ .
• $ \langle R , \cdot \rangle $ es asociativo.
• $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ .
• $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ .

Answer 1

Si se requiere la ley distributiva por un solo lado, se obtiene lo que se llama un cerca del anillo .

Si se requiere distributividad en ambos lados, esto tiende a forzar $+$ para ser conmutativo.

De hecho, la computación del producto $( \alpha + \beta )(a + b)$ usando la distributividad a la izquierda, y luego a la derecha, y luego haciéndolo de nuevo en el orden opuesto, se deduce que $$ \beta a + \alpha b = \alpha b + \beta a.$$ Así que al menos en el subgrupo aditivo de $R$ generados por elementos que son productos de otros dos elementos, la operación $+$ es conmutativo. Si, por ejemplo, requiere además que $R$ contiene una identidad multiplicativa, entonces $+$ será conmutable en todos los $R$ .

Edición: Este argumento es una variante de la El argumento de Eckmann-Hilton .

También podría ayudar a pensar en el ejemplo básico de un anillo cercano (como se discute en la wikipedia), a saber, los mapas de un grupo $G$ a sí mismo, con $+$ siendo la operación de grupo (aplicada puntualmente a los mapas) y $ \cdot $ siendo la composición de los mapas. La ley distributiva de la derecha es trivialmente cierta, pero imponiendo la ley distributiva de la izquierda diríamos entonces que estamos viendo mapas de un grupo que preservan el funcionamiento del grupo, es decir, endomorfismos de $G$ a $G$ . Pero para que esto sea una casi lubricación del anillo cercano de todos los mapas, entonces necesitaríamos que la suma puntual de dos homomorfismos sea de nuevo un homomorfismo, una condición que se mantiene sólo si $G$ es abeliana.

Answer 2

Hay una estructura algebraica llamada cerca del anillo que permite que la "adición" no sea conmutativa, aunque sólo requiere distributividad en la derecha.

Por lo tanto, si tomamos los axiomas del anillo como los has listado, y cambiamos el primero para que sólo requiera que $ \langle R,+ \rangle $ es un grupo, obtenemos los axiomas para un anillo cercano a la derecha que también es un anillo cercano a la izquierda bajo las mismas operaciones.