Ayuda para la pregunta sobre la distribución binomial

Question

Tengo problemas para entender una pregunta de una tarea:

Una prueba para detectar la presencia de una determinada enfermedad tiene una probabilidad de 0,05 de de dar un falso positivo y una probabilidad de 0,04 de dar un falso negativo. Supongamos que se hacen pruebas a cuatro individuos, tres de los cuales no tienen la enfermedad y uno sí. Sea X= el número de resultados positivos.

1. ¿Tiene X una distribución binomial?
2. Encuentre la probabilidad de que sólo uno de los cuatro resultados de la prueba sea sea positivo.

Editar: No estoy seguro de que esto sea correcto, pero tengo la configuración de la probabilidad así P(A->P)P(B->N)P(C->N)P(D->N)+P(A->N)P(B->P)P(C->N)P(D->N)+P(A->N)P(B->N)P(C->P)P(D->N)+P(A->N)P(B->N)P(C->N)P(D->P)

Donde A,B y C no tienen la enfermedad. D tiene la enfermedad. (A->P significa que A da positivo)

Answer 1

Lo que se busca es la función generadora de probabilidad. Esta función te permite introducir los valores dados en tu ejercicio y calcular las probabilidades necesarias. Una buena derivación de la función generadora de probabilidad de la distribución binomial se puede encontrar en

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

Si le interesa, le proporcionará además el valor esperado y la estimación de la varianza.

Answer 2

1. Una distribución binomial modela el número de resultados positivos en un número de sucesos verdaderos o falsos independientes (sucesos Bernoulli) que tienen cada uno la misma probabilidad de ser verdaderos. Deberías preguntarte: para los cuatro individuos que se analizan, ¿ cada persona tenga la mismo ¿probabilidad de dar positivo?

2. Si tienes dos sucesos independientes, la probabilidad de que se produzcan dos sucesos cualesquiera es la probabilidad de que esos dos sucesos se produzcan individualmente multiplicada por cada uno de ellos, y luego multiplicada por el número de permutaciones en las que puede ocurrir. Aplique esto al caso de cuatro sucesos. Hay que tener en cuenta que éste es exactamente el principio en el que se basa la distribución binomial. Por lo tanto, si sólo tienes dos personas, la persona A y la persona B, entonces $$\begin{align*} \mathbb{P}[&\text{exactly one person tests positive}] \\ &= \mathbb{P}[A \text{ tests positive}]\mathbb{P}[B \text{ tests negative}] + \mathbb{P}[A \text{ tests negative}]\mathbb{P}[B \text{ tests positive}] \end{align*}$$