¿Es posible probar que algún punto pertenece al conjunto de Mandelbrot? ¿Es un ejemplo del teorema de Gödel?

Question

Todo el mundo sabe que Mandelbrot estableció programas de dibujo por ordenador. El programa toma algún punto, construye una secuencia a partir de él, y si encuentra que la secuencia sale de un círculo con 2 radios, entonces sabe que este punto NO pertenece al conjunto.

¿Qué hay de los otros puntos?

Las secuencias de ellas son infinitas. ¿Significa esto que nunca podemos estar 100% seguros de que estos puntos pertenecen al conjunto?

Por ejemplo, si tomamos algún punto "A" (fuera del cardioide principal)

¿podemos probar realmente que este punto pertenece al conjunto?

Si no es así, ¿este caso puede ser un ejemplo del teorema de Gödel, es decir, algo verdadero, pero no demostrable?

ACTUALIZACIÓN

Pensando en este tema pensé que algunos puntos pueden ser probables, como los puntos dentro del cardioide principal. Por lo tanto, hay posibles teoremas demostrables sobre otros puntos también. Es probable que haya muchos de ellos.

Por lo tanto, lo incompleto se está escapando de nuevo: no podemos estar seguros, de que en algún momento "A" nunca se encontrará una prueba específica, de que pertenece al conjunto. Y si tenemos algún punto, para el cual la prueba no fue encontrada durante 1000 años, todavía no podemos estar seguros de que este punto no es demostrable...

Probablemente es imposible proporcionar un ejemplo de "dominio del problema" del teorema de Gödel en absoluto, porque si fuera un ejemplo, se demostraría que no es demostrable :)

Answer 1

La respuesta es en su mayoría sí - hay un algoritmo que determinará si la mayoría de los números complejos están o no en el conjunto de Mandelbrot. El algoritmo definitivamente funciona para todos los puntos que se encuentran en la cuenca de atracción de alguna órbita atractiva y para todos los puntos que se encuentran en el límite del conjunto de Mandelbrot, como se demostró en este documento . Si hay otros puntos o no es equivalente a la conjetura de hiperbolicidad lo cual creo que generalmente se asume como cierto.

Para ser más concretos, consideremos cómo podemos probar que un punto como el que ha etiquetado $A$ en su diagrama puede probarse que está en el conjunto de Mandelbrot. De nuevo, para ser más concretos, supondremos que el punto es específicamente $c=-0.2-0.75i$ que, como se muestra a continuación, está justo donde estás hablando.

La prueba de que este punto se encuentra en el conjunto de Mandelbrot descansa en dos fundamentos. El primero es el siguiente teorema:
La cuenca de atracción de cualquier órbita atractiva bajo la iteración de un polinomio debe contener un punto crítico de ese polinomio.

Ahora, $f_c(z)=z^2+c$ tiene exactamente un punto crítico, a saber $z=0$ independiente de $c$ . Por lo tanto, si $f_c$ tiene una órbita atractiva para alguna elección particular de $c$ entonces la órbita de cero debe ser limitada, ya que debe ser atraída a la órbita atractiva.

La segunda cuestión importante es simplemente qué entendemos exactamente por una órbita atractiva. Primero, un punto fijo $z_0$ (es decir, un punto con $f(z_0)=z_0$ se llama atractivo si $|f'(z_0)|<1$ . Más generalmente, una órbita periódica con puntos distintos $z_1,z_2, \ldots ,z_n$ rendimientos $n$ puntos fijos de $F=f^n$ . Por lo tanto, la órbita es atractiva si esos puntos son puntos fijos atractivos de $F$ .

Ahora, para su punto $c=-0.2-0.75\,i$ es una simple cuestión de calcular que \begin {arriba}{ccc} 0.137914-0.0456595 i & -0.183064-0.762594 i & -0.748037-0.470792 i \end {arriba} forma una órbita atractiva para su función.

Answer 2

El El artículo de Wikipedia sobre el conjunto de Mandelbrot sugiere que la respuesta a su pregunta aún no se conoce. En el párrafo Otros resultados dice:

En la actualidad se desconoce si el conjunto de Mandelbrot es computable en modelos de computación real basados en análisis computacionales.

Si el conjunto de Mandelbrot resultara no ser computable, entonces sí habría puntos en el conjunto que no se podrían probar en el conjunto, como usted sospecha. Pero ese es un gran "si".