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Discrepancia en la aplicación de la identidad $\sum_{n=-\infty}^\infty f(n) = -\sum_{j=1}^l \operatorname{Res}(g;a_j)$

El teorema en su totalidad es como sigue:

Deje $a_1,\ldots,a_l\in\mathbb{C}$ ser pares diferentes no integral números. Sea f una analítica de la función en $\mathbb{C}-\{a_1,\ldots,a_l\}$ y establezca $g(z):=\pi \cot(\pi z)f(z)$, de tal manera que $|z^2f(z)|$ está delimitado en el exterior de un adecuado conjunto compacto. Entonces:

$$\sum_{n=-\infty}^\infty f(n) = -\sum_{j=1}^l \operatorname{Res}(g;a_j)$$

El libro me quiere usar este teorema para demostrar que $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}$. Todo apunta a que me establecimiento $f(z)=\frac{1}{z^2}$, pero el polo de la $\frac{1}{z^2}$ es cero, lo que es un número entero y por lo tanto es un punto en el que f debe ser analítico, por lo tanto el teorema no puede ser aplicado, lo que me estoy perdiendo aquí? Gracias.

Edit: supongo que estoy supone que modificar ligeramente el teorema de modo que funciona para una superposición de polo, probablemente no necesita una aclaración sobre esto, después de todo.

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Fabian Puntos 12538

Indirecta: estás en el camino correcto. Probar la función $$f(z) = \frac{1}{z^2 +a^2}$$ which coincides with your guess in the limit $a\to 0 $. The additional term in the sum (due to the pole of $g (z) $ at $z=0$ can be simply subtracted). The rest of $\sum_n f (n) $ is two times the requested sum. Take the limit $a\to0$ y listo...

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