Si $p,q$ es números primos impares diferentes, muestran que $pq \not \mid 2^p+2^q$.

Question

He conseguido demostrar que $p\mid2^{q-1}+1$ y que $q\mid2^{p-1}+1$el % si $pq\mid2^p+2^q$.

También, desde $2^{(p-1)(q-1)}\equiv1(mod\ pq)$ y según el teorema de Euler, puedo probar que $2^{pq-1}\equiv2^{(p-1)+(q-1)}\equiv-1(mod\ pq)$.

Pero no tengo ni idea de qué hacer, alguien me puede ayudar?

Answer 1

Tienes que $2^{q-1} \equiv - 1 \pmod p \implies 2^{2q - 2} \equiv 1 \pmod p$. Ahora que $o_p(2)$ ser del orden de $2$ en el multiplicative grupo $(\mathbb{Z}_p)^*$. Entonces tenemos que $o_p(2) \mid p-1$ y $o_p(2) \mid 2q-2$. También sabemos que $o_p(2) \not \mid q-1$. Así que deje que $v_2(n)$ ser la potencia de dos en la facturización primera de $n$. Por ejemplo $v_2(8) = 3$. Entonces como $o_p(2) \mid 2q-2$ y $o_p(2) \not \mid q-1$ tenemos que:

$$v_2(o_p(2)) > v_2(q-1)$$

También como; $o_p(2) \mid p-1$ tenemos:

$$v_2(p-1) \ge v_2(o_p(2)) > v_2(q-1)$$

Ahora hacerlo con la otra relación tenemos:

$$v_2(q-1) \ge v_2(o_q(2)) > v_2(p-1)$$

Pero esto es una contradicción.