Encontrar el campo de variación

Question

Deje $M$ ser un completo conectado de Riemann colector y $r\in M$ $p,q\in B(r;R)$ donde $R$ es la convexidad de radio en punto de $r$. Deje $u\in T_pM$ $v\in T_qM$ $\epsilon>0$ ser tal que $\exp_psu,\exp_qsv\in B(r;R)$ $\Gamma:(-\epsilon,\epsilon)\times[0,1]\to M$ ser definido por

$$\Gamma(s,t)=\exp_{\exp_psu}(t\exp^{-1}_{\exp_psu}\exp_qsv)$$

Quiero calcular la variación de campo $V(t)=\partial_s\Gamma(0,t)$$t=0$$t=1$, que es

$$\partial_s\Gamma(0,t)=\frac d{ds}\Gamma(s,t)|_{s=0}$$

Si $\gamma(s)=t\exp^{-1}_{\exp_psu}\exp_qsv$ ,luego $$\frac d{ds}\Gamma(s,t)|_{s=0}=(\exp_{\exp_psu})_{*t\exp^{-1}_pq}(\dot\gamma(0))$$

si $\mu=\exp_qsv$, luego $$\dot\gamma(0)=(t\exp^{-1}_{\exp_psu})_{*q}(\dot\mu(0))$$ Así, $$V(0)=(\exp_{\exp_psu})_{*0}((0)_{*q}(\dot\mu(0)))$$ y $$V(1)=(\exp_{\exp_psu})_{*\exp^{-1}_pq}((\exp^{-1}_{\exp_psu})_{*q}(\dot\mu(0)))$$ pero no sé cómo continuar a partir de aquí. En este documento se afirma que el $V(0)=u$ $V(1)=v$ sin ningún tipo de explicación. Puede alguien darme alguna sugerencia para el cálculo de $V(0)$$V(1)$, por favor?

Answer 1

Para calcular el $V(t)$ $t = 0$, tenemos que calcular la derivada parcial $$\frac{\partial}{\partial s} \Gamma(t,s)|{t=0,s=0} = \frac{d}{ds} \Gamma(0,s)|{s = 0}.$ $

Tenga en cuenta que tenemos

$$ \Gamma(0,s) = \exp_{\exp_p(su)}(0) = \exp_p(su)$$

así $\Gamma(0,s)$ es una geodésica proveniente de $p$ en la dirección $u$. Por lo tanto,

$$ \frac{d}{ds} \Gamma(0,s)|_{s = 0} = \frac{d}{ds} \expp(su)|{s = 0} = u. $$

Del mismo modo,

$$ \Gamma(1,s) = \exp_{\expp(su)} \left( \exp{\exp_p(su)}^{-1}(\exp_q(sv))\right) = \exp_q(sv)$$

repito, $\Gamma(1,s)$ es una geodésica proveniente de $q$ en la dirección $v$% y tan $\frac{d}{ds} \Gamma(1,s)|_{s = 0} = v$.