¿Cuáles son la conmutativa quasigroups satisfacción $a/b=b/a$?

Question

Hay una pregunta más difícil al acecho detrás de esta pregunta que se acaba de preguntar. El contexto es quasigroup teoría. Un conmutativa quasigroup puede ser definido como un conjunto $Q$ junto con la operación binaria $*$ tal que para todos los $a,b \in Q$, no hay una única "solución" $s \in Q$ problemas $s*a=b$. Escribimos $b/a$ para el único tal $s$. Los enlaces pregunta (esencialmente) se pregunta si existe una conmutativa quasigroup la satisfacción de la identidad de $a/b=b/a$. (Sí, por ejemplo, $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ tiene esta propiedad con respecto a la adición.) Lo que me gustaría saber es, ¿podemos útil caracterizar todos los conmutativa quasigroups la satisfacción de esta identidad, incluyendo la no-asociativo?

Ideas, cualquier persona?

Answer 1

La actualización de mi anteriormente (mal!) respuesta.

Deje $(Q,\cdot)$ ser un conmutativa quasigroup. TFAE:

1. Para todos $x,y \in Q$ $xy=x/y$.
2. Para todos $x,y \in Q$ $x/y=y/x$.

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Primera nota, $(Q,\cdot,\backslash, /)$ es un quasigroup si los siguientes son satisfechos por todos los $x,y \in Q$ $$ x(x\barra invertida y) = y = x\barra invertida (xy),\\ (y/x)x = y = (yx)/x. $$ Este es un equivalente a la definición (a soluciones únicas de $ax=b$$ya=b$), pero ahora estamos asegurado que quasigroups forma de una variedad.

Ahora, es muy sencillo demostrar que si $Q$ es conmutativa, entonces $x/y=y\backslash x$. El uso de este, ahora es fácil ver que $x/(x/y)=y$, lo que implica $x*y=x/y$. La otra implicación es inmediata. De nuevo, ambas direcciones dependen de conmutatividad.

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Si se incluyen una identidad en sus supuestos, ($i.e.$ Q es un bucle), entonces usted tiene que $x=x^{-1}$. Así el loop es el poder asociativo (que no es necesariamente diassociative!). Si se agrega la asociatividad (como ya se ha dicho), Q es una primaria abelian $2$-grupo.