Espacio de medidas incompleto que no es sigma-finito

Question

Estoy buscando un ejemplo de un espacio de medida incompleto con una medida que no sea sigma-finita.

Todas las medidas que no son sigma-finitas que he encontrado hasta ahora son las siguientes:

• medida de recuento en un conjunto que no es contable (por ejemplo, en el espacio medible $(\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R}))$
• o la medida $\mu$ en la trivial álgebra sigma $\Sigma = \{\emptyset,X \}$ con $\mu(X) = \infty$

estaban completos.

Supongamos que $(\Omega, \Sigma, \mu)$ sería un espacio de medidas de este tipo. Sea $\eta$ denotan la medida exterior inducida y $\Sigma_\eta$ el $\sigma$ -de la $\eta$ -conjuntos medibles. Además, dejemos que $(\Omega,\tilde{\Sigma},\tilde{\mu})$ denotan la finalización de $(\Omega,\Sigma,\mu)$ . En este caso, la inclusión $\tilde{\Sigma} \subset \Sigma_\eta$ ser estricto?

Answer 1

Un ejemplo muy sencillo: \begin{align*} X\equiv&\,\{a,b,c\},\\ \Sigma\equiv&\,\{\varnothing,\{a,b\},\{c\},\{a,b,c\}\}, \end{align*} con \begin{align*} \mu(\varnothing)\equiv&\,0,\\ \mu(\{a,b\})\equiv&\,0,\\ \mu(\{c\})\equiv&\,\infty,\\ \mu(\{a,b,c\})\equiv&\,\infty. \end{align*} Entonces, $\Sigma$ es un $\sigma$ -y el álgebra, y $\mu$ es una medida sobre ella. Sin embargo, $\mu$ es

• no $\sigma$ -finito: ningún conjunto medible que contenga $c$ tiene una medida finita; y
• no está completo: $\{a\}\subset\{a,b\}$ y $\mu(\{a,b\})=0$ pero $\{a\}\notin\Sigma$ .

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La medida exterior inducida $$\eta(A)\equiv\inf\left\{\sum_{n=1}^{\infty}\mu(S_n)\,\Bigg|\,S_1,S_2,\ldots\in\Sigma\text{ and }A\subseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}S_n\right\}\quad\forall A\subseteq X$$ es la siguiente: \begin{align*} \begin{array}{rclcrclcrclcrcl} \eta(\varnothing)&=&0&&\eta(\{a\})&=&0&&\eta(\{a,b\})&=&0&&\eta(\{a,b,c\})&=&\infty\\ &&&&\eta(\{b\})&=&0&&\eta(\{a,c\})&=&\infty&&&&\\ &&&&\eta(\{c\})&=&\infty&&\eta(\{b,c\})&=&\infty \end{array} \end{align*} Se puede demostrar que cualquier subconjunto de $X$ es $\eta$ -medible, por lo que $\Sigma_{\eta}=2^X$ . De hecho, $2^X$ es también la finalización $\tilde{\Sigma}$  de $\Sigma$ con respecto a $\mu$ . Por lo tanto, $\tilde\Sigma=\Sigma_{\eta}$ .

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No sé si, en general, se puede tener $\tilde{\Sigma}\subset\Sigma_{\eta}$ estrictamente.