Pregunta sobre la demostración de secuencias ajustadas.

Question

Me preguntaba cómo demostrarías que una secuencia de variables aleatorias es una secuencia ajustada. Por ejemplo supongamos $X_{n}$ se distribuye exponencialmente( $\lambda_n$ ) ¿cómo demostraría que
{ $X_{n}$ } $_{n}$ es una secuencia ajustada.

¿Es suficiente demostrar que si existe alguna M y $\epsilon > 0$ entonces si $P(|X_{n}| \ge M) < \epsilon$ ¿es una secuencia apretada?

$P(|X_{n}| \ge M) < \epsilon$ $\implies$ $1-(1-\rm{e}^{-\lambda_{n}M}) = \rm{e}^{-\lambda_{n}M} < \epsilon$ Entonces, si $M < \infty$ y tomar $\epsilon = 1$ mientras $\lambda_{n}$ está acotada lejos de cero es una secuencia ajustada. ¿Es esto correcto? Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

Tu intento es casi correcto. Tienes que demostrar que existe para cada $\epsilon>0$ un conjunto compacto $K_\epsilon$ tal que para todo $n$ la probabilidad de que $X_n\in K$ es como mínimo $1-\epsilon$ . Dado que todo subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ está contenida en algún intervalo cerrado acotado, y como la probabilidad de que una variable aleatoria con distribución exponencial sea negativa es cero, siempre se puede tomar $K_\epsilon$ ser $[0,M_\epsilon]$ para algunos $M_\epsilon>0$ .

Sea $F_n$ sea la fdc de $X_n$ . Sea $\epsilon>0$ . Tenemos que demostrar que para algunos $M_\epsilon>0$ y para todos $n$ se tiene $F_n(M_\epsilon)>1-\epsilon$ . Así que para todos $n$ de la distribución exponencial, $$1-e^{-\lambda_n M_\epsilon}>1-\epsilon$$ $$\epsilon>e^{-\lambda_n M_\epsilon}.$$ Ahora dejemos que $0<b\leq \lambda_n$ para todos $n$ . Entonces $$\epsilon>e^{-b M_\epsilon}\geq e^{-\lambda_n M_\epsilon}$$ para $M_\epsilon$ suficientemente grande, ya que $\lim_{k\to\infty }e^{-bk}=0$ . Por lo tanto, la familia de variables aleatorias es realmente ajustada si todas $\lambda_n$ están uniformemente acotadas lejos de cero. También está claro que esta condición es necesaria.