¿Cómo se distribuye el ángulo de elevación esférica en los casos de #% uniformemente y normalmente las %#%?

Question

Como seguimiento a Cómo la coordenada polar, $\theta$, se distribuye al $(x,y) \sim U(-1,1) \times U(-1,1)$ e si $(x,y) \sim N(0,1)\times N(0,1)$?

Suponga $(x,y,z) \sim U(-10,10) \times U(-10,10) \times U(-10,10)$ ¿cómo se $\theta$ $\phi$ distribuido?

Es claramente de las maravillosas respuestas de la pregunta anterior que $\theta$ parece que:

Pero, ¿por qué la $\phi$ no conseguir la máxima probabilidad en $\phi = \pi/4$?

Si seleccionamos $x,y,z$ en la normalidad de la distribución de moda de esta 2 p.d.f:

Hay un nombre para $\theta$ $\phi$ distribuciones en ambos casos? Para mí se parece a $\beta$ distribución en el intervalo de $[-90,90]$.

Answer 1

En mi discusión aquí estoy asumiendo su $\theta$ es, efectivamente, una longitud y $\phi$ es, efectivamente, una latitud. Quizás más típico esférica coordina el uso de un ángulo hacia abajo desde el polo norte, en lugar de arriba de la línea del ecuador y el intercambio de los roles de los dos símbolos de eso - pero no es ningún problema para tratar con él de cualquier manera, así que me quedo con lo que su notación parece ser.

Tenga en cuenta que la distribución de la radio no es de interés aquí, sólo los ángulos, de modo que se pueda proyectar todo en una unidad de esfera sin cambiar los ángulos. Esto es bastante útil en el caso normal.

Con un esféricamente simétrica de distribución como a las tres dimensiones estándar normal, el aspecto de la distribución de inclinación tiene que ver con el hecho de que hay mucho más que el área sobre la superficie de una esfera cerca del ecuador que cerca de los polos.

Si usted sigue a través de las matemáticas (o escribe un argumento geométrico en términos de elementos de probabilidad similar a la anterior 2D pregunta), se puede conseguir que la inclinación debe tener una densidad proporcional a $\cos(\phi)$. He aquí un argumento geométrico que debe motivar en los "elementos de probabilidad" de términos:

Desde la radio en el ecuador es de 1 y el radio a una latitud de $\phi$$\cos(\phi)$, la circunferencia, a una latitud de $\phi$ es proporcional a $\cos(\phi)$, y por lo tanto la densidad en $\phi$ es proporcional a $\cos(\phi)$.

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Uniforme de caso: Con el 3D-uniforme normalizado de radio constante, usted no tiene la homogeneidad de la densidad de la esfera por la misma razón que no teníamos en el 2D caso - cuando se proyecta sobre la esfera, hay mucho más que la "densidad" en la esfera cerca de los ángulos en las esquinas se de donde los lados son (con piezas de cerca de la mitad de los bordes de estar en el medio) -- porque no hay más de que el volumen del cubo para los ángulos cerca de las esquinas que para ángulos de cerca de la mitad de las caras.

Podemos ver esto mediante la generación de muchos valores aleatorios uniformemente en el cubo y la proyección sobre la esfera. Ya hay más de volumen, cerca de las esquinas de cerca las caras del cubo, hay una mayor densidad de mirar "hacia adentro" de las esquinas de las caras. Si trazamos la altura (recordemos que este es un proyectados valor de z, $z^* = z/r$ donde $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$) por encima del ecuador en contra de la longitud, se obtiene la parte superior de la parcela a continuación:

Que altura se corresponde con el lado vertical del triángulo rectángulo en el diagrama anterior; que la altura es la $\sin$ de $\phi$ ($z^*=\sin(\phi)$). Para convertir que a la latitud ($\phi$), nos gustaría tener la arcsen de que proyecta la altura vertical, que es lo que vemos en la parte inferior de la parcela. Este "estira" las cosas más cuanto más nos acercamos a los polos, haciendo que la densidad como función de la latitud bajar a 0 en el polo norte y sur (para el uniforme y para el caso normal).

La densidad de $\phi$ será entonces la integral de la densidad bivariante $\theta$.

Buscando en la marginal de $\theta$ (es decir, tiras bajando a valores fijos de $\theta$) hace cuatro picos en la densidad de $\theta$ como se nota - de hecho, de este se desprende directamente de la 2D caso, pero como vemos ahora, también hace un par de picos en la densidad de $\phi$ fuera del ecuador, correspondiente a una región en la superficie de la unidad de la esfera, donde las esquinas y la parte superior/inferior de los bordes del cubo del proyecto.

Answer 2

El complemento de distribución acumulativa para la esférica latitud $\phi$ da la probabilidad de que un punto al azar en el cubo de la $[-1,1]^3$ se encuentran por encima de los conos que los gráficos de la función de $z = \cot(\phi)\sqrt{x^2+y^2}$. Debido a que estos puntos están distribuidos de manera uniforme en todo el cubo (que tiene un volumen de $1/8$), esta probabilidad es de un octavo del volumen entre el cono y la parte superior del cubo. Cuando la latitud supera $\pi/4$, este volumen es la de un cono de la derecha con la altura de la $1$ y base $\cot(\phi)$, equivalente a

$$F_{+}(\phi) = \frac{1}{8}\frac{\pi}{3}\cot^2(\phi).$$

Ver a los dos de la derecha parcelas en la figura.

Cuando la latitud es de menos de $\arctan(1/\sqrt{2})$, este es el volumen de la intersección de un semi-infinita de cono y el cubo. Una integración en coordenadas polares le da a la expresión

$$F_{-}(\phi) = \frac{1}{8}\left(4-\frac{4}{3} \tan (\phi ) \left(\sqrt{2}+2 \tanh ^{-1}\left(\tan \left(\frac{\pi }{8}\right)\right)\right)\right).$$

Ver a los dos de la izquierda parcelas en la figura.

Los negativos derivados de estas expresiones dan la densidad. Entre el $\arctan(1/\sqrt{2})\approx \pi/5$ $\pi/4$ es una región de transición donde la intersección del cono con el cubo es complicado. Aunque una expresión exacta, podría ser desarrollado, sería complicado. Lo que sí sabemos es que la densidad debe cambiar continuamente de la derivada de $-F_{-}$ a la derivada de la $-F_{+}$ $\phi$ varía entre esos puntos. Esto se muestra en un histograma de un millón de valores simulados (a partir de la mitad superior del cubo, la mitad inferior será una imagen de espejo). El oro de la curva es la gráfica de $-\frac{d}{d\phi}F_{-}$, mientras que la curva de color rojo a la derecha está la gráfica de $-\frac{d}{d\phi}F_{+}.$

Esto aclara por qué los modos de transporte no están en $\phi=\pm \pi/4$, pero debe estar entre estos valores y $\pm \arctan(1/\sqrt{2})$.