Ecuación integral similar a Fourier

Question

(Esta pregunta inspirada en la pregunta específica de 1er orden PDE que se ve casi como un lineal de la PDE.)

Resolver la ecuación integral $$ g(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty \rho(\omega)\left[e^{i\omega x} - \frac{1}{1 + k i\omega e^{-i\omega}}\right]d\omega, $$ donde $g(x)\colon\mathbb R\to\mathbb R$ es dado y $k$ es una constante real; $\rho$ se desconoce su función.

He intentado expandir $1/(1 + k\ldots)$ en series o diferenciar w.r.t. $k$, pero es inútil. Desde la primera parte (con $e^{i\omega x}$) es una inversa de la transformada de Fourier, traté de aplicar la transformada de Fourier, pero, ¿qué debemos hacer con la integral $$ \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-i\eta x}d\eta\int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\rho(\omega)d\omega}{1 + ki\omega e^{-i\omega}}? $$

Parte con $k$ es sólo un número, pero no podemos denotar $g(x)=\mathcal F^{-1}[\rho] + \mathrm{const}$. Lo he intentado, y no es una verdadera constante de todos modos (depende del $\rho$).

Answer 1

Este es un intento de responder a la difícil cuestión de la determinación de la constante :

Este sorteo me a pensar que :

• Si $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\varphi (\omega)}{1+k i\omega e^{-i\omega}}d\omega =0 $, entonces el problema tiene una solución, que es la inversa de la transformada de Fourier de $g(x)$.

• Si no, no hay ninguna función $\rho(\omega)$ que satisface la ecuación dada.

Ya que no estoy muy seguro de la validez del argumento, creo que la pregunta queda abierta.

Answer 2

Esta no es una solución.

Habría sido deseable tener un poco de comprensión de la naturaleza de la operación de multiplicar por $\frac{1}{1 + k i\omega e^{-i\omega}}$ en el dominio de la frecuencia, que yo no. Traté de transformación inversa, es probablemente va a ser una distribución generalizada de la función y soy incapaz de encontrar de lo que sería.

Numéricamente, se ve algo como esto

Un ejemplo donde hago (no Utilizar unitario de la frecuencia angular de transformación y el uso de $g(w)\rightarrow G(x),\rho (w) \rightarrow R(x)$):

$$G(x)=\int\limits_{-\infty}^\infty \rho(w)\left[e^{i w x}+ \frac{1}{k + i w}\right]dw=2\pi R(x)+\int ^0 _{-\infty}R(x)e^{kx}dx$$

Para el segundo término, he utilizado el teorema de convolución y el hecho de que la integral en un dominio, es equivalente a su transformación evaluada en 0.

Permite recoger $k=1$ $G(x)=e^{-x^2/2}$

$$G(x)=2\pi R(x)+\int ^0 _{-\infty}R(x)e^{x}dx$$

G y R difieren por una constante simple. Decir $$R(x)=\frac{e^{-x^2/2}-A}{2 \pi}$$

Ahora es un asunto trivial para encontrar Una, después de que a usted le inversa transformar $R$ conseguir $\rho$

$$e^{-x^2/2}=\int_{-\infty }^{\infty } \left(e^{i w x}+\frac{1}{1+i w}\right) \left(\frac{e^{-\frac{w^2}{2}}}{\sqrt{2 \pi }}-\sqrt{\frac{e \pi }{2}} \text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \delta (w)\right) \, dw$$

Answer 3

Bueno, he mencionado que era incapaz de transformar inverso con la mano (y dudo que sea posible en todos) sin embargo este proceso puede hacerse numéricamente.

Uso de la misma Convención:

utilizando transformación de frecuencia angular no unitario y utilizando $g(w)\rightarrow G(x),\rho (w) \rightarrow R(x)$

$$h(w)=-\frac{1}{1 + ik w e^{-iw}}$$ $H (x) $ is the (numerical) inverse frequency transform of this function. This is a known function. For $k=1/2$ it looks like: Using convolution theorem and the fact that the integral in one domain is equivalent to its transform evaluated at 0. $$G(x)=2\pi R(x)+\int^\infty {-\infty}R(\xi)H(x-\xi)d\xi \bigg|{x=0}$$ $$R(x)=\frac{G(x)-A}{2\pi}$$ $$A=\frac{1}{2\pi}\int^\infty {-\infty}G(\xi)H(-\xi)d\xi -\frac{A}{2\pi}\int^\infty {-\infty}H(-\xi)d\xi$$ All the integrals are known numbers, that can easily be found numerically. From those, you can solve for A. And then, you can easily find $\rho$

Se puede seguir para resolver con ayuda de estas si desea que

-

-