Monotonicity de$\mathcal{l^p}$ espacios usando solo la desigualdad de Hoelder

Question

Para$p > 0$, let$\ell^p$ sea el espacio de las secuencias para las cuales$$\sum_{i=1}^{\infty} |a_i|^p$ $ es finito ($a_i \in \mathbb{R}$). Es bien sabido que, para$q > p$,$$\ell^p \subset \ell^q.$ $ ¿Se puede mostrar esto solo usando la desigualdad de Hoelder para tales espacios de secuencia (que sé / puedo probar, por lo que se puede suponer)? Recuerdo la prueba de Jensen Inequality para la declaración similar para la monotonicidad de$\mathcal{L_p}$ de espacios, pero debería haber una forma inteligente de usar Hoelder, creo, y me estoy quedando sin información sobre cómo hacerlo.

Answer 1

No necesitas Holder. Tomar $a \in \ell^p$. Entonces, dado que la suma$\sum |a_i|^p$ converge, tenemos$a_i \to 0$, lo que significa que es suficientemente grande$i$,$|a_i| < 1$. Esto significa$|a_i|^q < |a_i|^p$ para% suficientemente grande $i$, por lo que$\sum |a_i|^q$ también converge.