Encontrar base de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$

Question

Encontrar una base de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$ $\mathbb{Q}$.

Creo que la base debe ser $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{4}\cdot\sqrt{2},\sqrt[3]{4}^2,\sqrt[3]{4}^2\cdot\sqrt{2}$. Así que quiero mostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})=\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{4})$.

Está claro que $\mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})\subseteq\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{4})$, pero ¿cómo puedo mostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{4})\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$?

Answer 1

Decir $\Bbb Q(\sqrt{2},\sqrt[3]{4})\ne\Bbb Q(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$, lo $\sqrt{2},\sqrt[3]{4}\not\in\Bbb Q(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$. Deje $n$ el índice de los dos campos.

¿Qué $\Bbb Q(\sqrt{2},\sqrt[3]{4})=\Bbb Q(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})(\sqrt{2})$ $\sqrt{2}\not\in\Bbb Q(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$ nos dicen acerca de $n$?

Por otro lado, como $\sqrt[3]{4}\not\in\Bbb Q(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})$, y las otras dos raíces de $X^3-4$ son complejos, ¿qué sabemos acerca de $X^3-4$? Entonces, ¿cuál es $\Bbb Q(\sqrt{2},\sqrt[3]{4})=\Bbb Q(\sqrt{2}+\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{4})$ decir acerca de $n$?

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Como para encontrar una base. Usted sabe que si $K(\alpha)/K$ tiene el grado $n$ $\{1,\alpha,\cdots,\alpha^{n-1}\}$ $K$- base para $L$. Además si $L/M/K$ $\cal A$ $M$- base para $L$ $\cal B$ $K$- base para $M$, luego

$${\cal AB}=\{ab:a\in{\cal A},b\in{\cal B}\}$$

es una $K$-base para $L$. Se puede demostrar esto? Este es un buen dato para tener a mano.

Utilice el arriba para encontrar una base para $\Bbb Q(\sqrt{2})/\Bbb Q$$\Bbb Q(\sqrt{2})(\sqrt[3]{4})/\Bbb Q(\sqrt{2})$, y luego construir una base para la extensión de $\Bbb Q(\sqrt{2},\sqrt[3]{4})/\Bbb Q$ fuera de estas dos bases. Esto es exactamente lo que tiene, pero la discusión anterior proporciona formal de la justificación de por qué es una base.

Answer 2

Llamemos a $\sqrt2=\alpha$, $\root3\of4=\beta$ y $\alpha+\beta=\gamma$. Es suficiente para mostrar que $\sqrt2\in\mathbb Q(\gamma)$. Puesto que el polinomio minimal para $\beta$ $\mathbb Q(\alpha)$ $f(X)=X^3-4$, el polinomio mínimo de $\gamma$ sobre el campo mismo es $g (X) = f (X-\alpha) = X ^ 3-3\alpha X ^ 2 +3\alpha ^ 2 X-\alpha^3-4 = X ^ 3-3\alpha X^2+6X-2\alpha-4$. Thus we have $0=g (\gamma) $, which we can solve for $\alpha= (\gamma^3+6\gamma-4 ) / (3\gamma ^ 2 +2) $, si mis cálculos no implican ningún error.