¿Dado un % polinomio irreducible separable monic $f$con coeficientes enteros, cuando $\mathbb{Z} [x]/f(x)$ es un dominio de Dedekind? ¿Y cuando pasa a ser un dominio de Dedekind, como saber su número de clase?
La pregunta es demasiado amplia. Pero, ¿tenemos algún criterio útil si nos imponen condiciones más $f$?
El número de clase es completamente diferente de la pregunta, así que me concentro sólo en cómo decidir si $\mathbb{Z}[x]/(f)$ es integralmente cerrado (es decir, un dominio de Dedekind).
En primer lugar, la normalidad es una condición local: $\mathbb{Z}[x]/(f)$ es normal (es decir, integralmente cerrado) iff $\mathbb{Z}_{(p)}[x]/(f)$ es normal para cada prime $p$ donde $\mathbb{Z}_{(p)}$ se refiere a la localización de $\mathbb{Z}$ $p$ (es decir, el anillo de racionales tales que $p$ no dividir el denominador). Segundo, la normalidad pasa a la terminación (las palabras "excelente " anillo", es una frase mágica aquí): podemos, si queremos, reemplace $\mathbb{Z}_{(p)}[x]/(f)$ $\mathbb{Z}_p[x]/(f)$ en la anterior.
Además, no necesitamos probar cada prime $p$, sólo el un número finito en que se divide el discriminante de $f$ o su coeficiente inicial: el resto de los números primos son unramified y necesariamente normal (véase, por ejemplo, Serre, Locales, Campos, I, §6, (i), prop. 15 y cor. 1 y 2, que también es relevante en lo que sigue) (estos unramified primos aparecen como $e=1$ en lo que sigue).
Así que ahora vamos a concentrarnos en una sola prime $p$.
Supongamos $f$ por el momento que $f$ es monic (ahora que estamos en una única prime $p$, no es tan fuerte condición: sólo queremos que el coeficiente inicial no sea un múltiplo de $p$). Si $\bar f = \prod_{i=1}^r \varphi_i^{e_i} \in \mathbb{F}_p[x]$ donde $\varphi_i$ son los distintos irreductible factores de $\bar f$. Por Hensel del lema (desde $\mathbb{Z}_p$) podemos levantar esta factorización de a uno de a $f = \prod_{i=1}^r f_i \in \mathbb{Z}_p[x]$ donde $f_i$ reduce a $\varphi_i^{e_i}$ mod $p$, y el teorema del resto Chino nos dice que $\mathbb{Z}_p[x]/(f) = \prod_{i=1}^r \mathbb{Z}_p[x]/(f_i)$, lo cual es normal si cada factor es así, podemos asumir que el $f = f_i$ (i.e, $\bar f = \varphi^e$ donde $\varphi\in\mathbb{F}_p[x]$ es irreductible e $e$ es la ramificación). Si $f$ no monic en el inicio de este párrafo, por lo menos debería ser primitivo (es decir, mcd de los coeficientes de $=1$), de lo contrario $\mathbb{Z}_p[x]/(f)$ ciertamente no puede ser integralmente cerrado; incluso si es primitivo, en cierto grado, puede ser perdido "en el infinito": creo que de $f$ como homogénea polinomio en dos variables en lugar de ello, Henselize como tal, y omitir la parte en el infinito.
Así que ahora tenemos $\mathcal{O} := \mathbb{Z}_p[x]/(f)$ que es un local noetherian dominio de la dimensión $1$, cuyo máximo ideal $\mathfrak{P}=(p)+(\varphi)$ es el conjunto de elementos que son divisibles por $\varphi$ después de la reducción de mod $p$. Así que es normal que el fib es regular iff $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^2$ $1$- dimensional como un espacio vectorial sobre $\mathcal{O}/\mathfrak{P} = \mathbb{F}_p[x]/(\varphi)$. En esta etapa, todo es bastante explícito y por lo menos debe ser claro que la pregunta es algorítmica (haciendo álgebra lineal en $\mathbb{Z}_p$-módulos, que es algorítmico); ya que cada paso hasta ahora (factorización sobre campos finitos, Hensel del lema) también fue algorítmica, y ya he explicado por qué tenemos que comprobar sólo un número finito de números primos, en general, la pregunta es algorítmica.
Un aspecto particularmente importante del caso es que cuando $\varphi = x$, en otras palabras $f = x^e + a_1 x^{e-1} + \cdots + a_e$ $a_i$ varios de $p$$1\leq i \leq e$. A continuación, $\mathfrak{P}$ se compone de los $c_0 + c_1 \xi + \cdots + c_{e-1} \xi^{e-1}$ (donde $\xi$ es la clase de $x$ mod $f$) tal que $c_0$ es un múltiplo de a $p$, e $\mathfrak{P}^2$ es generado por $p^2$, $p\xi$ y $\xi^i$$2\leq i \leq e$. Por lo que el cociente $\mathfrak{P}/\mathfrak{P}^2$ $\mathbb{F}_p$- espacio vectorial de $(c_0,c_1)$ $c_0 \in p\mathbb{Z}_p/p^2\mathbb{Z}_p$ $c_1 \in \mathbb{Z}_p/p\mathbb{Z}_p$ quotiented a cabo por la imagen de $\xi^e$ allá, que es $(-a_e,0)$. Así es $1$-dimensiones iff $a_e$ no es un múltiplo de a $p^2$, es decir, $f$ es una Eisenstein polinomio. El caso general será similar, pero más complicado de escribir (si, en lugar de $\mathbb{Z}_p[x]/(f)$ tuvimos una completa discreta valoración anillo con un algebraicamente cerrado residuo de campo, que siempre se puede reducir para el caso que acabamos de describir).
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