¿Cómo funciona esta aplicación de la regla de la cadena?

Question

1. Dejemos que $\bar{x_1} = x_1 \cos(x_2)$ y $ \bar{x_2} = x_1 \sin(x_2)$ Supongamos que $f:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ es una función suave de $\bar{x_1}$ y $\bar{x_2}.$ Demuestra eso: $(\frac{\partial{f}}{\partial\bar{x_1}})^2+(\frac{\partial{f}}{\partial\bar{x_2}})^2 = (\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}})^2+ \frac{1}{x_1^2}(\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}})^2$ .

Uso de la regla de la cadena: $\frac{\partial{f}}{\partial{x_1}} = \frac{\partial{f}}{\partial{\bar{x_1}}} \frac{\partial{\bar{x_1}}}{\partial{x_1}} + \frac{\partial{f}}{\partial{\bar{x_2}}}\frac{\partial{\bar{x_2}}}{\partial{x_1}}$ y $\frac{\partial{f}}{\partial{x_2}} = \frac{\partial{f}}{\partial{\bar{x_1}}} \frac{\partial{\bar{x_1}}}{\partial{x_2}} + \frac{\partial{f}}{\partial{\bar{x_2}}}\frac{\partial{\bar{x_2}}}{\partial{x_2}}$

$\frac{\partial{\bar{x_1}}}{\partial{x_1}} = \cos{x_2}$ , $\frac{\partial{\bar{x_2}}}{\partial{x_1}}= \sin{x_2 }$ , $\frac{\partial{\bar{x_1}}}{\partial{x_2}} = -x_{1}\sin{x_2}$ , $\frac{\partial{\bar{x_2}}}{\partial{x_2}} = x_{1}\cos{x_2}$

$\partial_{x_1}{f} = \cos{x_2}\partial_{\bar{x_1}}{f}+\sin{x_2}\partial_{\bar{x_2}}{f}$

$\partial_{x_2}{f} = -x_{1}\sin{x_2}\partial_{\bar{x_1}}{f}+x_{1}\cos{x_2}\partial_{\bar{x_2}}{f}$

$(\partial_{x_1}{f})^{2} = (\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1} \cos{x_2}+\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2} \sin{x}_2) ^{2} = (\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1}) ^{2} \cos^{2}x_2 + 2 \frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1} \frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2} \cos{x}_2 \sin{x}_2+(\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2})^{2}\sin^{2}x_2$

$(\partial_{x_2}{f})^{2} = (\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1} (-x_1\sin x_2) + \frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2}x_1\cos x_2)^{2} = \frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1}^{2}(x_1^{2}\sin^{2}x_2)+2\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1}\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2}(-x_1\sin x_2)(x_2\cos x_2) + (\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2})^{2}x_1^{2}\cos^{2}x_2$

$\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2}^{2} = (x_1)^{2}[(\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1})^{2}\sin^{2}x_{2}-2\sin x_2\cos x_2 \frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1}\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2}+(\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2})^{2}\cos^{2}x_2]$

Así que $(\frac{\partial f}{\partial x_1})^{2}+ \frac{1}{x_1^{2}}(\frac{\partial f}{\partial x_2})^{2} = \frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1}^{2}(\cos^2 x_2 + \sin^2 x_2) + (\frac{\partial f}{\partial \bar x_2})^2(\sin^2 x_2+\cos^2 x_2)$

$= (\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1})^{2}+(\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_2})^{2}$

Al resolver para $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ no es $x_1$ depende de $x_2$ y $\bar{x}_1$ y $\bar{x}_2$ ? Entonces, ¿por qué su $\frac{\partial f}{\partial x_1}$ formulado de manera que no incluya $x_2$ ? Y también Mi profesor sólo mostró el lado derecho de la ecuación sin expandir el LHS. ¿Cómo podría alguien saber que tanto el lado derecho como el lado izquierdo son equivalentes sin la respuesta? ¿Tendrían que expandir el LHS para verlo? y si se expandiera el LHS, ¿cómo $\frac{\partial f}{\partial \bar{x}_1}$ ¿mira?

Answer 1

En general, este tipo de problemas son difíciles en parte porque $f$ significa dos cosas diferentes. Así que aclaremos esto (y simplifiquemos un poco la notación).

Voy a sustituir las variables barradas por un nuevo nombre: $$ u_1(x_1, x_2) = x_1 \cos x_2 \\ u_2(x_1, x_2) = x_1 \sin x_2. $$

Ahora dejemos que $F: \Bbb R^2 \to \Bbb R: (c_1, c_2) \mapsto f(c_1, c_2)$ y definir $$ F(x_1, x_2) = f(u_1(x_1, x_2), u_2(x_1, x_2)) $$

Lo único que queda por hacer es llamar a las derivadas parciales de $f$ . Tal y como lo he escrito, probablemente deberían llamarse $$ \frac{\partial f}{\partial c_1}\\ \frac{\partial f}{\partial c_2} $$ pero $c$ fue sólo un nombre que elegí para no entrar en conflicto con otros nombres. Más típico sería escribir $f$ como una función de dos argumentos llamados $u_1$ y $u_2$ pero luego $u_1$ y $u_2$ son ambos argumentos ficticios de la función $f$ y también funciones de $x_1$ y $x_2$ y eso es otro choque de nombres que puede confundir a la gente.

En cambio, voy a escribir $\partial_1 f$ para significar "la derivada de $f$ con respecto a su primer argumento", y de forma similar para $F$ . Ahora la regla de la cadena se lee así $$ \partial_1 F (x_1, x_2) = \partial_1 f(u_1(x_1, x_2), u_2(x_1, x_2)) \cdot \color{red}{\partial_1 u_1 (x_1, x_2) }+ \partial_2 f(u_1(x_1, x_2), u_2(x_1, x_2)) \cdot \color{red}{\partial_1 u_2 (x_1, x_2)}\\ \partial_2 F (x_1, x_2) = \partial_1 f(u_1(x_1, x_2), u_2(x_1, x_2)) \cdot \color{red}{\partial_2 u_1 (x_1, x_2)} + \partial_2 f(u_1(x_1, x_2), u_2(x_1, x_2)) \cdot \color{red}{\partial_2 u_2 (x_1, x_2)}. $$

La afirmación que se hace es entonces que $$ [\partial_1 F (x_1, x_2)]^2 + \frac{1}{x_1^2} [\partial_2 F (x_1, x_2)]^2 = (\partial_1{f}(u_1(x_1, x_2), u_2(x_1, x_2)))^2+ (\partial_2{f}(u_1(x_1, x_2), u_2(x_1, x_2)))^2. $$

Lo bueno es que los parciales de $u_1$ y $u_2$ resaltados en rojo, son fáciles de calcular. Si se hace eso, y se omiten los argumentos de todos los parciales, las ecuaciones anteriores se convierten en

$$ \partial_1 F = \partial_1 f \cdot \color{red}{\cos x_2 }+ \partial_2 f \cdot \color{red}{\sin x_2}\\ \partial_2 F = \partial_1 f \cdot \color{red}{-x_1 \sin x_2 }+ \partial_2 f \cdot \color{red}{x_1 \cos x_2}\\ \frac{1}{x_1} \partial_2 F = -\partial_1 f \cdot \color{red}{\sin x_2 }+ \partial_2 f \cdot \color{red}{\cos x_2}\\ $$ Suma los cuadrados de los lados izquierdos de la primera y la tercera ecuación para obtener el lado izquierdo de la "afirmación" anterior. ¿Qué se obtiene con eso? Un montón de parciales de $f$ mutliplicado por los senos y cosenos. Simplificando, se obtiene $\sin^2 + \cos^2 $ que pueden ser sustituidos por $1$ . También se obtienen algunos productos de $\sin$ y $\cos$ pero con signos opuestos, por lo que se cancelan. Y cuando simplificas, lo que obtienes es el lado derecho, así que he demostrado que el lado izquierdo es efectivamente igual al derecho.

Eso es lo que también hizo tu profesor, pero utilizando esa notación confusa en la que $f$ significa dos cosas diferentes, y $\bar{x}_1$ también significa dos cosas diferentes, y es un milagro que alguien pueda hacerlo bien.

Lo malo: todo el mundo escribe cosas así, y llega a ser sistemático y habitual y te encuentras con que simplemente lo haces y sabes que "realmente todo tiene sentido, aunque parezca una locura". Y es mucho más fácil de escribir que el $\partial_1$ también. Así que una vez que entiendas mi versión de la prueba (e, implícitamente, mi versión de la regla de la cadena), fíjate si puedes volver atrás y darle sentido a la versión de tu profesor, porque es el tipo de cosas que acabarás escribiendo algún día, excepto cuando estés explicando cosas a alguien en MSE. :)