Los valores máximos y mínimos de la expresión

Question

Aquí es la cuestión: la diferencia entre los valores máximos y mínimos de $u^2$ donde $$u=\sqrt{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x} + \sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}$ $

---

Mi intento: normalmente sólo he cuadrado la expresión y consiguió

$u^2=a^2\cos^2x+b^2\sin^2x + a^2\sin^2x+b^2\cos^2x +2\sqrt{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x} \sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}$

$u^2=a^2+b^2 +2\sqrt{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x} .\sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}$

Yo no estoy cómo resolver la parte irracional, cómo debemos hacerlo. ¿Hay alguna manera general para resolver este tipo de preguntas?

Answer 1

Escribir

$$\cos^2x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

y

$$\sin^2x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

Entonces, tenemos

$$u=\sqrt{A+B\cos 2x}+\sqrt{A-B\cos 2x}\tag 1$$

donde

$$A=\frac{a^2+b^2}{2}$$

$$B=\frac{a^2-b^2}{2}$$

Tomando el derivado de en $(1)$ y revela la derivada igual a cero

$$\frac{-B\sin 2x}{\sqrt{A+B\cos 2x}}+\frac{B\sin 2x}{\sqrt{A-B\cos 2x}}=0$$

con lo cual problemas revela que sea $\sin 2x=0$ o $\cos 2x=0$. Cuando $\cos 2x=0$,

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{u=\sqrt{2(a^2+b^2)} \,\,\text{is the maximum}}$$

y cuando $\sin 2x =0$,

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{u=|a|+|b|\,\,\,\text{is the minimum}}$$

Answer 2

Expandir $u^2$ más: $$u^2=a^2+b^2 +2\sqrt{\sin^2x\cos^2x(a^4+b^4)+a^2b^2(\sin^4x+\cos^4x)}$ $

Usando la identidad trigonométrica $\sin^2x+\cos^2x=1$ podemos derivar que: $$\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x$ $

Escribir otra vez $u^2$: $$u^2=a^2+b^2 +2\sqrt{\sin^2x\cos^2x(a^2-b^2)^2+a^2b^2}$ $

El valor mínimo de $\sin^2x\cos^2x$ es $0$ y su valor máximo (utilizando AM-GM) $$\frac{\sin^2x+\cos^2x}{2}=\frac{1}{2}\ge\sin x\cos x$ $ $$\frac{1}{4}\ge\sin^2x\cos^2x$ $ también lo encontrarás así con identidades trigonométricas $$\sin^2x\cos^2x = \frac{\sin^2(2x)}{4}\Rightarrow \max(\sin^2x\cos^2x)=\max \left(\frac{\sin^2(2x)}{4}\right)=\frac{1}{4}$ $ %#% tan $$u^2_{min}=(\left |a\right |+\left |b\right |)^2$de %#% $ $

Answer 3

Asumir el WLOG $a > b > 0$, $A = \sqrt{a^2\cos^2x+b^2\sin^2x}, B = \sqrt{a^2\sin^2x+b^2\cos^2x}\Rightarrow A^2+B^2 = a^2+b^2\Rightarrow u^2 = (1\cdot A+1\cdot B)^2\leq (1^2+1^2)(A^2+B^2)=2(a^2+b^2)\Rightarrow u^2{max} = 2(a^2+b^2)$. Para encontrar el $u^2{min}$, es necesario encontrar el mínimo de $(a^2\cos^2x+b^2\sin^2x)(a^2\sin^2x+b^2\cos^2x)=f(\cos^2 x)=(a^2-(a^2-b^2)t)(b^2+(a^2-b^2)t), t = \cos^2x, 0 \leq t \leq 1=f(p) = (a^2-p)(b^2+p), p = (a^2-b^2)t, 0 \leq p \leq a^2-b^2\to f(p) = a^2b^2 + (a^2-b^2)p - p^2\Rightarrow f'(p) = a^2-b^2 - 2p=0 \iff p = \dfrac{a^2-b^2}{2}\Rightarrow f\left(\dfrac{a^2-b^2}{2}\right)=\dfrac{(a^2+b^2)^2}{4}$. En % de puntos finales $p = 0, a^2-b^2, f(0) = a^2b^2, f(a^2-b^2) = a^2b^2$. Así $u^2_{min} = a^2+b^2 + 2\sqrt{a^2b^2}=(a+b)^2$, desde $a^2b^2 \leq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{4}$.