Encuentre el $\bigcap_{n = 1}^{\infty} (-\frac{1}{n}, \frac{2}{n})$

Question

Encuentre el $\bigcap_{n = 1}^{\infty} (-\frac{1}{n}, \frac{2}{n})$

Así que la forma en que lo entiendo es que estoy tratando de encontrar

$(\frac{-1}{1}, \frac{2}{1}) \bigcap (\frac{-1}{2}, \frac{2}{2}) \bigcap (\frac{-1}{3}, \frac{2}{3})\bigcap ...$ y así sucesivamente. Entonces la intersección sería $\varnothing$ ¿verdad? ¿Puedo demostrarlo simplemente escribiendo los primeros elementos y viendo que no se cruzan?

O es que la pregunta me pide que encuentre:

$\frac{-1}{1} \bigcap \frac{2}{2} \bigcap \frac{-1}{3} \bigcap...$ ? en este caso la intersección seguiría siendo $\varnothing$ ¿verdad?

Answer 1

Hay tres cosas que probar:

1. $0$ está en todos los intervalos, por tanto en la intersección de todos ellos.

2. Si $x>0$ entonces hay al menos un intervalo que no contiene $x$ Así que $x$ no está en la intersección mutua. (elegir $n$ para que $2/n<x$ ).

3. Si $x<0$ entonces hay al menos un intervalo que no contiene $x$ Así que $x$ no está en la intersección mutua. (elegir $n$ para que $-1/n>x$ ).

Combinando, la intersección es $\{0\}$ como señala tetori.

Answer 2

Esta es una versión más larga y formal de vadim123 La respuesta de la Comisión, con algunos detalles más sobre el origen de la división del caso.

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$ \newcommand{\calc}{\begin{align} \quad &} \newcommand{\calcop}[2]{\\ #1 \quad & \quad \text{"#2"} \\ \quad & } \newcommand{\endcalc}{\end{align}} \newcommand{\Tag}[1]{\text{(#1)}} \newcommand{\true}{\text{true}} \newcommand{\false}{\text{false}} $ Utilizando una notación ligeramente diferente, y dejando que $\;n\;$ se extienden implícitamente sobre $\;\mathbb N^+\;$ podemos simplemente empezar a calcular los elementos $\;x\;$ de este conjunto:

$$\calc x \in \langle \cap n :: (-\tfrac{1}{n}, \tfrac{2}{n}) \rangle \calcop\equiv{definition of $ \N - El capitán; $} \langle \forall n :: x \in (-\tfrac{1}{n}, \tfrac{2}{n}) \rangle \calcop\equiv{definition of interval; multiply by $ \;n\; $ -- to try and isolate $ \;n\; $} \langle \forall n :: -1 < n \times x < 2 \rangle \endcalc$$

Nuestra estrategia es aislar $\;n\;$ por lo que queremos dividir por $\;x\;$ y, por lo tanto, tenemos que dividir en tres casos diferentes: para $\;x = 0\;$ obtenemos

$$\calc \tag 1 \langle \forall n :: -1 < n \times x < 2 \rangle \calcop\equiv{substitute $ \;x = 0\; $} \langle \forall n :: -1 < 0 < 2 \rangle \calcop\equiv{simplify} \true \endcalc$$

para $\;x > 0\;$ obtenemos

$$\calc \tag 2 \langle \forall n :: -1 < n \times x < 2 \rangle \calcop\equiv{divide by $ \;x\; $, using $ \;x > 0\; $ so no sign flip} \langle \forall n :: -\tfrac 1 x < n < \tfrac 2 x \rangle \calcop\Rightarrow{choose any $ \N - \N - \N - \N - \N - 2 x\N -; $, possible since $ \N -mathbb N^+\N -; $ is unbounded upwards} \false \endcalc$$

y finalmente para $\;x < 0\;$ obtenemos

$$\calc \tag 3 \langle \forall n :: -1 < n \times x < 2 \rangle \calcop\equiv{divide by $ \;x\; $, using $ \;x < 0\; $ so the signs flip} \langle \forall n :: \tfrac 2 x < n < -\tfrac 1 x \rangle \calcop\Rightarrow{choose any $ \N -tfrac 1 x\N-; $, possible since $ \N -mathbb N^+\N -; $ is unbounded upwards} \false \endcalc$$

En resumen, hemos demostrado que para todos los $\;x\;$ , $\;x \in \langle \cap n :: (-\tfrac{1}{n}, \tfrac{2}{n}) \rangle \;\equiv\; x = 0\;$ En otras palabras, el conjunto en cuestión es igual a $\;\{0\}\;$ .

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Obsérvese que la propiedad crucial que utilizamos fue que $\;\mathbb N^+\;$ no tiene límites.