Le agradeceria si alguien me pudiera ayudar con el siguiente problema
P: busca una prueba combinatoria
1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2=\binom{2n+1}{3}
Le agradeceria si alguien me pudiera ayudar con el siguiente problema
P: busca una prueba combinatoria
1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2=\binom{2n+1}{3}
Damos una combinatoria de interpretación de la fórmula 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2=\binom{2n+1}{3} \tag {1} for the sum of the first $$ n impar plazas.
Hay \binom{2n+1}{3} formas de elegir los 3 números de los números de 1, 2, \dots, 2n+1. Organizamos y el recuento de las elecciones en otra forma.
Tal vez el mayor número elegido puede ser 2k o 2k+1. Si es 2k, los otros dos pueden ser elegidos en \binom{2k-1}{2} formas, y si es 2k+1, luego los otros dos pueden ser elegidos en \binom{2k}{2} maneras. El total es por lo tanto \frac{(2k-2)(2k-1)}{2} +\frac{(2k-1)(2k)}{2}=(2k-1)^2 \tag {2}
Tome k=1, 2, 3, \dots, n. Por (2), el número de maneras de elegir a 3 números de 1, 2, \dots, 2n+1 es 1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2. Espero que ayude.
En una nota de lado, ver también aquí.
Una manera que surgió, además de inducciones, utiliza esta fórmula: 1^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Con esto, podemos conseguir\begin{align} 1^2+3^2+...+(2n-1)^2=&~ (1^2+2^2+...+(2n)^2) - 2^2(1^2+2^2+...+n^2)\ =&~\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} - 4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\ =&~\frac{2n(2n+1)(2n-1)}{6}=\binom{2n+1}{3}. \end{align}
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