Buscando una combinatoria prueba $1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2=\binom{2n+1}{3}$

Question

Le agradeceria si alguien me pudiera ayudar con el siguiente problema

P: busca una prueba combinatoria

$$1^2+3^2+\cdots+(2n-1)^2=\binom{2n+1}{3}$$

Answer 1

Damos una combinatoria de interpretación de la fórmula $$1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2=\binom{2n+1}{3} \tag {1}$$ for the sum of the first $$ n impar plazas.

Hay $\binom{2n+1}{3}$ formas de elegir los $3$ números de los números de $1, 2, \dots, 2n+1$. Organizamos y el recuento de las elecciones en otra forma.

Tal vez el mayor número elegido puede ser $2k$ o $2k+1$. Si es $2k$, los otros dos pueden ser elegidos en $\binom{2k-1}{2}$ formas, y si es $2k+1$, luego los otros dos pueden ser elegidos en $\binom{2k}{2}$ maneras. El total es por lo tanto $$\frac{(2k-2)(2k-1)}{2} +\frac{(2k-1)(2k)}{2}=(2k-1)^2 \tag {2}$$

Tome $k=1, 2, 3, \dots, n$. Por $(2)$, el número de maneras de elegir a $3$ números de $1, 2, \dots, 2n+1$ es $$1^2+3^2+5^2+\cdots +(2n-1)^2.$$ Espero que ayude.

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En una nota de lado, ver también aquí.

Answer 2

Una manera que surgió, además de inducciones, utiliza esta fórmula: $1^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$

Con esto, podemos conseguir\begin{align} 1^2+3^2+...+(2n-1)^2=&~ (1^2+2^2+...+(2n)^2) - 2^2(1^2+2^2+...+n^2)\ =&~\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6} - 4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\ =&~\frac{2n(2n+1)(2n-1)}{6}=\binom{2n+1}{3}. \end{align}