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Compacidad de {xRn:f(x)=0} para una función continua sobreyectiva

Que f sea una función continua sobreyectiva de Rn R, miro el conjunto $$A:={x\in \Bbb{R}^n:f(x)=0}.

A está cerrado, pero me pregunto si puede ser compacto, n=1 puede. ¿Pero lo que es pasar si n2?

¿Es posible encontrar tal función donde está limitado el conjunto de cero?

11voto

MrTuttle Puntos 1116

n>1, El cero conjunto de una continua sobreyectiva f:RnR siempre es ilimitado.

Considerar un % arbitrario r. El conjunto de f(K_r(0)), donde K_r(x) = { y : \lVert y-x\rVert \leqslant r}, es compacto, por lo tanto, f alcanza valores negativos y valores positivos en U_r := \mathbb{R}^n\setminus K_r(0). Puesto que está conectado U_r, f^{-1}(0)\cap U_r \neq \varnothing.

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