Compacidad de $\{x\in \Bbb{R}^n :f(x)=0\}$ para una función continua sobreyectiva

Question

Que $f$ sea una función continua sobreyectiva de $\Bbb{R}^n$ $\Bbb{R},$ miro el conjunto $$A:={x\in \Bbb{R}^n:f(x)=0}.

$A$ está cerrado, pero me pregunto si puede ser compacto, $n=1$ puede. ¿Pero lo que es pasar si $n\ge 2$?

¿Es posible encontrar tal función donde está limitado el conjunto de cero?

Answer 1

$n > 1$, El cero conjunto de una continua sobreyectiva $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ siempre es ilimitado.

Considerar un % arbitrario $r \geqslant 0$. El conjunto de $f(K_r(0))$, donde $K_r(x) = { y : \lVert y-x\rVert \leqslant r}$, es compacto, por lo tanto, $f$ alcanza valores negativos y valores positivos en $U_r := \mathbb{R}^n\setminus K_r(0)$. Puesto que está conectado $U_r$, $f^{-1}(0)\cap U_r \neq \varnothing$.