Una representación alternativa de la unidad imaginaria y $i,$.

Question

Recientemente, comencé a trabajar con tanto complejo y los números de imaginaria, y miré el número complejo $i^{n}.$

Si $n = 0, i^{n} = 1,$

$n = 1, i^{n} = i = \sqrt{-1},$

$n = 2, i^{n} = i^{2} = i \cdot i = -1,$

$n = 3, i^{n} = i^{3} = i^{2} \cdot i = -1 \cdot i = -i,$ y

$n = 4, i^{n} = i^{4} = i^{3} \cdot i = -i \cdot i = -i^{2} = -(-1) = 1.$

¿Sería correcto decir que, $\forall{n}, \Re{\left(i^{n}\right)} = \cos{\left(\frac{n \pi}{2}\right)},$ y $\Im{\left(i^{n}\right)} = \sin{\left(\frac{n \pi}{2}\right)},$ $\frac{n \pi}{2}$ ¿Dónde está en radianes?

Según esta lógica, $i^{n} = \cos{\left(\frac{n \pi}{2}\right)} + i \sin{\left(\frac{n \pi}{2}\right)}.$

Answer 1

Usted está absolutamente correcto. Es un aspecto específico de la fórmula de Euler, debido a que $i = e^{i\pi/2}$ y el ser del fórmula de Euler: $e^{ix} = \cos x + i \sin x$.

Answer 2

Sí, esto es correcto.

Puedes ver este usando el fórmula $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$. Primero, $i=0+i1=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)=e^{i\pi/2}$. Por lo tanto $i^{n}=e^{in\pi/2}=\cos(n\pi/2)+i\sin(n\pi/2)$.

Permítaseme también dar otra manera de ver esto, desde un ángulo diferente. La función $f:\mathbb Z\to\mathbb C$ define en $f(n)=i^n$ tiene período cuatro desde $f(n+4)=i^{4+n}=i^4i^n=1i^n=f(n)$. La función $g:\mathbb Z\to\mathbb C$, $g(n)=\cos(n\pi/2)+i\sin(n\pi/2)$, también es periódica con período de cuatro puesto que las funciones coseno y seno tienen periodo $2\pi$. Ya que $f(n)=g(n)$ % todo $n\in{0,1,2,3}$y ambas funciones tienen el período cuatro, de hecho deben ser iguales para todos los $n\in\mathbb Z$.

Answer 3

Por la fórmula de Euler, para cualquier $x=a+bi \in \mathbb{C}$, $$a+bi = re^{i\theta} = r(\cos \theta + i\sin \theta)$$ where $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ and $\theta = \arctan (b/a)$. Thus $i = e^{i\pi/2}$ and $$i^n = e^{ni\pi /2} = \cos\big(\frac{n\pi}{2}\big) + i\sin\big(\frac{n\pi}{2}\big)$$

Para ver de Euler fórmula puede pensar de los números complejos como pares ordenados $(a,b)$ equipadas con diferentes tipos de multiplicación: $$(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2) = (a_1a_2,-b_1b_2)$$ Then you can convert these ordered pairs to polar coordinates via the formulas above for $r$ and $\theta$. The expression $re^{i\theta}$ follows from the identities $$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \hspace{2mm} , \hspace{2mm} \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$$