cómo demostrar que $k+1 \ge (1+\frac{1}{k})^{k}$ ?

Question

Cómo demostrar que $$k+1\ge \bigg(1+\frac{1}{k}\bigg)^{k} $$ cuando $k>2$

Answer 1

Lo demostraremos con una inducción.

Consideremos el caso base de $k=2$ . Claramente, $3\ge 2.25$ .

Supongamos ahora que $k+1\ge \left(1+\frac{1}{k}\right)^k$ . Queremos demostrar que $\left(k+1\right)+1\ge\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}$ . Considere

$$\begin{align} \left(1+\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}&=\left(1+\frac{1}{k+1}\right)^k\left(1+\frac{1}{k+1}\right)\\ &\le\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\left(1+\frac{1}{k+1}\right)\\ &\le\left(k+1\right)\left(1+\frac{1}{k+1}\right)\\ &=(k+1)+\frac{k+1}{k+1}\\ &=(k+1)+1 \end{align}$$