Noción generalizada de independencia

Question

El conjunto de puntos $\mathbb{v}_i, i \in [1,n]$ en un espacio vectorial $V$ se llama independiente si para cualquier $\mathbb{a}=(a_1,\dotsc,a_n)\neq 0$ $\sum_i a_i \mathbb{v}_i \neq 0$ . Se puede añadir una restricción adicional a $\mathbb{a}$ Por ejemplo, necesitamos $\mathbb{a}\neq 0, |\mathbb{a}|_{0}\leq k$ es decir, como máximo $k$ elementos de $\mathbb{a}$ son distintos de cero. De esta forma se obtiene un k-independencia propiedad: $\mathbb{v}_i, i \in [1,n]$ son k-independientes si alguno $k$ de ellos son independientes. Claramente, el conjunto n-independiente es independiente.

¿Cuál es el término adecuado para k-independencia ¿propiedad?

Answer 1

Creo que para el caso de "como máximo k" es simplemente el rango de la matriz correspondiente. Por supuesto, el rango igual a k no garantiza que cualquier El subconjunto k es linealmente independiente. ¿Qué se puede decir de un conjunto de n elementos que son "k-sabiamente independientes linealmente"? El conjunto de todos los elementos k-sabiamente independientes linealmente, o k-frames (en particular, el conjunto de k-frames ortonormales) se conoce como la variedad de Stiefel. Ahora bien, "toda transformación ortogonal de un k-frame ... resulta en otro k-frame, y dos k-frames cualesquiera están relacionados por alguna transformación ortogonal". . Por lo tanto, nuestro conjunto (cuando está ortonormalizado) es simplemente un número de rotaciones de un marco k. La característica fundamental de nuestro conjunto sigue siendo k, el rango.