largo de la secuencia exacta en $K$-teoría

Question

Estoy estudiando los fundamentos de la $K$-teoría y dado un CW par $(X,A)$ entiendo cómo construir un largo exacto de la secuencia exacta

$\cdots \rightarrow K(SX) \rightarrow K(SA) \rightarrow K(X/A) \rightarrow K(X) \rightarrow K(A)$.

Muchos de los ejemplos que me encuentro, la inclusión del mapa de $A \rightarrow X$ tiene una división de $X \rightarrow A$, lo $K(X) \rightarrow K(A)$ surjective. ¿Esto implica automáticamente que $K(X/A) \rightarrow K(X)$ es inyectiva? Sí, no, ¿por qué? Gracias.

Answer 1

Si $A \to X$ es un retractarse, a continuación, también se $SA \to SX$ es un retractarse. A continuación, $K(SX) \to K(SA)$ es surjective, lo que significa que $K(X/A) \to K(X)$ es inyectiva.