Hallazgo normal de probabilidades (la vida de la batería)

Question

La vida útil de una calculadora de la batería está normalmente distribuida con una media de 1100 días y estándar de dev. de 60 días. $$\\$$

1) ¿Qué porcentaje de las baterías se espera que sobreviven más de 1200 días?

2) ¿Qué porcentaje de las baterías de sobrevivir a menos de 800 días?

3) ¿Qué longitud de garantía es necesario de modo que no más del 10% de las baterías se espera que fallan durante el período de garantía? $$\\$$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

1) $P(x > 1200)$

= $1-P(\frac{1200-1100}{60})$

= $1-P(1.67)$

= $1-0.9525$

= 0.0475

2) $P(x < 800)$

= $P(\frac{800-1100}{60})$

= $P(-5)$

= 0

No estoy seguro de cómo hacer #3.

Agradecería su ayuda, gracias!

Answer 1

Tal vez puedo ser de más ayuda animándoles a utilizar la notación que tiene sentido. Su escritura:

$$P(x > 1200) = 1-P\left(\frac{1200-1100}{60}\right) = 1-P(1.67) = 1-0.9525 = 0.0475,$$

en el que el segundo y tercer términos no contienen eventos y así no tiene sentido.

Yo sugiero algo como esto: Usted tiene $X \sim \mathsf{Norm}(\mu = 1100,\, \sigma=60)$ y buscar $P(X > 1200).$ $$P(X > 1200) = 1 - P(X \le 1200) = 1-P\left(\frac{X-\mu}{\sigma} \le \frac{1200 - 1100}{60}\right)\\ = 1 - P(Z \le 1.67) = 1 - 0.9525 = 0.0475,$$ donde el aproximado de respuesta numérica puede ser impreso obtenido a partir de las tablas de la norma normal CDF.

Usted puede conseguir un poco más de respuesta precisa el uso de software sin necesidad de estandarizar. Para ejemplo en R de software estadístico. La mejora de la precisión es debido a redondeo se evita. (En R, pnorm es la CDF de la distribución normal con una media de y SD dado en el segundo y tercer argumentos.)

1 - pnorm(1200, 1100, 60)
## 0.04779035

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Entonces, en la última parte, busquen $w$ tal que $P(X \le w) = 0.10.$, por Lo que escribir $$P(X \le w) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \le \frac{w-1100}{60}\right) = P(Z \le (w-1100)/60) = 0.10,$$ A continuación normal de las tablas de $(w-1100)/60 \approx -1.28,$ y se puede resolver por $w.$

Un poco más precisa de la respuesta puede ser obtenido por el software:

 qnorm(.1, 1100, 60)   # 'qnorm' is the inverse CDF or 'quantile' function
 ## 1023.107
 pnorm(1023, 1100, 60) # as a check
 ## 0.09968766

Aviso (como algunos Comentaristas no) que la empresa que ofrece la garantía es tacaño, no querer pagar más del 10% de las compras.

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Además, por lo general ayuda a hacer bocetos. Esta es una gráfica de la densidad de la función de $\mathsf{Norm}(1100, 60),$ verticales con líneas rojas que marcan lugares de interés en las partes de arriba.

Por supuesto, usted no puede boceto con una buena precisión con sólo la mano, sino con un poco de esfuerzo, usted puede aprender a hacer un facsímil de una normal curva de densidad que es mucho mejor que ningún boceto.