Simétrica polinomios tienen expresiones como polinomios en la simétrica funciones elementales

Question

Deje $s_i$ ser el simétrico de funciones elementales. Por ejemplo, $s_1=x_1+\cdots+x_n$.

Supongamos que un polinomio $p(z_1,\ldots,z_n)\in R[z_1,\ldots,z_n]$ satisface $p(s_1,\ldots,s_n)=0$$R[x_1,\ldots,x_n]$. ¿Cómo hace uno para demostrar que $p(z_1,\ldots,z_n)=0$$R[z_1,\ldots,z_n]$. No he podido encontrar una prueba de esto que no brillo en partes de algunos de inducción.

Answer 1

Voy a suponer $R$ es una parte integral de dominio, y por lo tanto, contenida en un algebraicamente cerrado campo de $K$ (se puede hacer sin esta suposición, sino que simplifica el argumento). Supongamos $p(s_1,\ldots,s_n)=0$ pero $p$ no es el polinomio cero; entonces, ciertamente, existen constantes $a_1,\ldots,a_n\in K$ tal que $p(a_1,\ldots,a_n)\neq0$. Ahora considere la posibilidad de $$ Q=X^n+a_1X^{n-1}+a_2X^{n-2}+\cdots+a_{n-1}X+a_n\en K[X]. $$ Desde $K$ es algebraicamente cerrado, este polinomio se divide $Q=\prod_{i=1}^n(X-r_i)$ para las raíces de las $r_1,\ldots,r_n\in K$. Pero eso significa que si $f:K[x_1,\ldots,x_n]\to K$ es el anillo de morfismos de la sustitución de $-r_j$$x_j$$j=1,\ldots,n$,$a_i=f(s_i)$$i=1,\ldots,n$. Ahora $$ 0=f(0)=f(p(s_1,\ldots,s_n))=p(f(s_1),\ldots,f(s_n))=p(a_1,\ldots,a_n), $$ una contradicción. La ante-última igualdad es simplemente el hecho de que un anillo de morfismos $f$ viajes con el anillo de operaciones utilizadas en la formación de una expresión polinómica $p$.