para ver el número del divisor de $p^m$ $q^n$ de las épocas cuando $p$ y $q$ son números primos

Question

Estoy tomando una introducción de la matemática discreta curso..se cubre un número de la teoría de contenido Algoritmo de euclides,aritmética modular, de Euler phi función, eso es todo

¿Cómo puedo resolver una pregunta como esta: Si $p$ $q$ son distintos de los números primos, encontrar el número de los distintos divisores de $p^mq^n$.

lo que hice es el plugin de algunos de los números primos y se observa que el número de divisor es $(m+1)(n+1）$

Es allí una manera formal para resolver esta basado en el contenido que he mencionado?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

SUGERENCIA:

$$\begin{array}{r|cc} &1&q&q^2&q^3&q^4&\dots&q^n\\ \hline 1&1&q&q^2&q^3&q^4&\dots&q^n\\ p&p&pq&pq^2&pq^3&pq^4&\dots&pq^n\\ p^2&p^2&p^2q&p^2q^2&p^2q^3&p^2q^4&\dots&p^2q^n\\ p^3&p^3&p^3q&p^3q^2&p^3q^3&p^3q^4&\dots&p^3q^n\\ p^4&p^4&p^4q&p^4q^2&p^4q^3&p^4q^4&\dots&p^4q^n\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ p^m&p^m&p^mq&p^mq^2&p^mq^3&p^mq^4&\dots&p^mq^n \end{array}$$

Answer 2

Desea producir un (positivo) divisor de $p^mq^n$. Por la Única Factorización Teorema, conocido como el Teorema Fundamental de la Aritmética, este será un número $d$ de la forma $p^aq^b$ donde$0 \le a\le m$$0 \le b \le n$.

Imagina que tenemos un cuadro que contiene $m$ $p$'s, y junto a ella una caja que contiene $n$ $q$'s.

Primero paramos en frente de la $p$-cuadro, y decidir cuántas $p$'s nuestro divisor $d$ tendrá. Hay $m+1$ opciones disponibles, es decir,$0, 1, \dots,m$.

Una vez que haya decidido sobre el número de $p$'s, muévase a la $q$-cuadro. Para cada elección de la cantidad de $p$'s el divisor $d$ tendrá, hay $n+1$ maneras de decidir cuántas $q$'s el divisor $d$ tendrá. Por lo tanto el número total de opciones es $(m+1)(n+1)$.

Comentario: Vamos a $N=p_1^{m_1}p_2^{m_2}\cdots p_k^{m_k}$, donde el $p_i$ son distintos de los números primos. Utilizando básicamente el mismo argumento, podemos mostrar que $N$ $(p_1+1)(p_2+1)\cdots(p_k+1)$ divisores positivos.

Answer 3

Sugerencia: comience con la pregunta de ¿cuántos divisores $p^m$.