¿Cómo calcular la siguiente integral en $n$ variables?

Question

¿Cómo puede el siguiente integral se calcula: $$ I_n=\int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{\prod_{k=1}^{n}\left(\frac{1-x_k}{1+x_k}\right)}{1-\prod_{k=1}^{n}x_k}dx_1\cdots dx_{n-1}dx_n $$ No debería ser $n$ integral de los signos, pero no sabía cómo escribir eso.

Es fácil mostrar que $I_1=\ln(2)$. Después parcial de fraccionamiento y la ayuda de Wolfram Alpha, me las arreglé para mostrar que $I_2=4\ln(2)-2\ln^2(2)-\frac{\pi^2}{6}$.

Pero cómo derivar un resultado general? Cualquier ayuda sería muy apreciada!

Editar:

Como pregunta complementaria, cómo calcular esta ligeramente modificada de la integral: $$ J_n=\int_0^1\int_0^1\cdots\int_0^1\frac{\prod_{k=1}^{n}\left(\frac{1-x_k}{1+x_k}\right)}{1+\prod_{k=1}^{n}x_k}dx_1\cdots dx_{n-1}dx_n $$ De nuevo, se puede demostrar fácilmente, que $J_1=1-\ln(2)$.

Answer 1

En esta respuesta, proporciono un método que utiliza la adición parcial iterada en la alternados números armónicos que le permitirá evaluar explícitamente ninguna de estas integrales para cualquier $n$.

Empezar por ampliar la serie $$\frac{1}{1-\prod_{k}x_{k}}=1+\prod_{k}x_{k}+\prod_{k}x_{k}^{2}+\cdots$$ so that $$I_{n}=\sum_{j=0}^{\infty}\left(\int_{0}^{1}\frac{1-x}{1+x}x^{j}dx\right)^{n}=\sum_{j=0}^\infty r_j^n.$$ Next we will rewrite $r_j$ in a more manageable form. Expanding the power series we have that $$r_j=\int_{0}^{1}\frac{1-x}{1+x}x^{j}dx=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\int_{0}^{1}(1-x)x^{j+k}dx,$$ and by the Beta function identity $$\text{B}(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$ we obtain $$r_j=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{(k+j+1)(k+j+2)}.$$ The terms in this series may be split by partial fractions yielding $$(-1)^{j}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+j}}{k+j+1}+(-1)^{j}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k+j+1}}{k+j+2}$$ and since $\sum_{k=0}^\infty (-1) ^ k /(k+1) =\log2$ we have $$r_j=(-1)^{j}\left(2\log2-H_j'-H_{j+1}'\right)$$ where $$H_j'=\sum_{k=1}^{j}\frac{(-1)^{k-1}}{k}$$ is the $j^ {th} $ alternating harmonic number. To evaluate the series, we need only compute the partial sums of $$\sum_{j=0}^m (-1)^{nj}\left(2\log2-H_j'-H_{j+1}'\right)^n$$ for any $n, m $. This can be done explicitly using the technique of iterated partial summation as shown in this answer. This will yield an exact answer for any $n$.

Answer 2

Ya que todas las $a_k \lt 1$ (excepto en un punto), me gustaría probar la expansión de $$\frac{1}{1-\prod_k^n a_k}=1+\left(\prod_k^n a_k \right)+\left(\prod_k^n a_k \right)^2+\cdots$$ (Serie geométrica) Esto le permitirá convertir su problema en una suma de integrales en las que, en cada término de la suma, la $a_k$'s aparece multiplicatively y por lo tanto puede ser integrado de forma independiente a través de Fubini:

$$\sum_{i=0}^\infty \int_0^1 \cdots \int_0^1 \prod_{k=1}^n \left( \frac{1-a_k}{1+a_k} (a_k)^i\right) $$. Que es igual a

$$\sum_{i=0}^\infty \left( \int_0^1 \left( \frac{1-a_k}{1+a_k} (a_k)^i\right) \right)^n $$

Yo no puedo asegurar que esto va a funcionar, pero a mí me parece que el problema se ha reducido al cálculo de una integral (que no se ve intransitables) y una serie.

Espero que esto ayude y que me haga saber si lo hace.