Una transformación natural entre el % de categorías $\pi_1X$y $\pi_1Y$

Question

Deje $\mathscr{C}$ $\mathscr{D}$ categorías y deje $F_0,F_1$ ser covariante functors $\mathscr{C}\to \mathscr{D}$. Una transformación natural $\alpha:F_0\to F_1$ es una colección de $\alpha=\left \{\alpha_A:A\in \text{obj } \left (\mathscr{C}\right )\right \}$ tal que $\alpha_A\in \hom_{\mathscr{D}}\left (F_0A,F_1A\right )$, y para cada $f\in \hom_{\mathscr{C}}\left (A,B\right )$ tenemos $F_1\left (f\right )\alpha_A=\alpha_BF_0\left (f\right )$.

Si $X$ es un espacio topológico, entonces $\pi_1X$ es un grupoid. Se trata de una categoría cuyos objetos son los elementos de $X$ y los morfismos entre dos objetos de $x,y\in X$ son los caminos que unen $x$ $y$modulo camino homotopies. Por lo tanto, todos los morfismos es una equivalencia.

Si $f:X\to Y$ es una función continua, entonces $f_{\ast}:\pi_1X\to \pi_1Y$ es un functor que envía cada $x\in X$ $f\left (x\right )$y cada una de las $\left [\alpha\right ] \in \hom_{\pi_1X}\left (x,y\right )=:\pi_1\left (X;x,y\right )$$\left [f\alpha\right ]\in \pi_1\left (Y;f\left (x\right ),f\left (y\right )\right )$. Observar que si $x=y$, luego tenemos el grupo habitual homomorphism $f_{\ast}:\pi_1\left (X,x\right )\to \pi_1\left (Y,f\left (x\right )\right )$.

Tengo que probar la siguiente afirmación:

Deje $f_0,f_1:X\to Y$ ser funciones continuas y deje $H:X\times I\to Y$ (donde $I=\left [0,1\right ]$) ser un homotopy entre el$f_0$$f_1$. En otras palabras, $H$ es continua y $H\left (x,i\right )=f_i\left (x\right )$ por cada $i\in \left \{0,1\right \}$. A continuación, $H$ induce una transformación natural $\left (f_0\right )_{\ast}\to \left (f_1\right )_{\ast}$.

Este es mi intento, no es la conclusión: Por cada $x\in X$ definir $H_x:I\to Y$ tal que $H_x\left (t\right )=H\left (x,t\right )$. A continuación, $H_x\left (i\right )=f_i\left (x\right )$ por cada $i\in \left \{0,1\right \}$. Por lo tanto,$\left [H_x\right ]\in \pi_1\left (X;f_0\left (x\right ),f_1\left (x\right )\right )$.

Quiero demostrar que la $\left \{\left [H_x\right ]:x\in X\right \}$ es nuestra transformación natural. Con el fin de demostrar que, tomamos $x,y\in X$$\left [\omega\right ]\in \pi_1\left (X;x,y\right )$.

Yo se haría si yo fuera capaz de demostrar que $H_x\ast f_1\omega$ es el camino homotópica a $f_0\omega \ast H_y$, pero a este paso me quedé atrapado. ¿Cómo podría usted demostrar que esas funciones son la ruta de homotópica?

Answer 1

Ya hay un canónica tales homotopy dado, es decir $H_\omega:I\times I\to Y$, donde para ser claros $H_\omega(s,t)=H(\omega(s),t)$. Este es un cuadrado cuyo límite se compone de los cuatro caminos en cuestión. Por lo que es suficiente para demostrar el siguiente: desde cualquier mapa de $T:I\times I\to X$ $T(0,t)=a,T(1,t)=b,T(s,0)=c,T(s,1)=d$ induce un camino homotopy entre el$d*a$$b*c$. Esto se puede hacer a través del mapa de $f: I\times I \to I\times I$ que ve $I\times I$ como la unidad de la plaza en el primer cuadrante del plano, proyectos verticalmente sobre el cuadrado con vértices $(1/2,0),(1/2,1),(0,1/2),(1,1/2)$, a continuación, asigna a la tarde de la plaza de nuevo en $I\times I$ girando hacia la izquierda a través de un ángulo de $\pi/4$, a continuación, la traducción de y a la escala.

A continuación, $T\circ f$ es constante en sus bordes izquierdo y derecho, y se ejecuta a través de $d*a$ $b*c$ sobre la parte superior y la parte inferior, dando la deseada homotopy extremos fijos.

El punto de este desagradablemente construcción explícita es mostrar cómo transformar cualquier mapa a partir de un cuadrado en un homotopy entre el compuesto de caminos en sus límites. Una más abstracta forma de decir esto es que hay una auto-homotopy equivalencia de la plaza, que induce una homeomorphism de la plaza, con $I\times I/(0\times I\sqcup 1\times I)$, siendo este último el espacio que representa la ruta de acceso homotopies, actuando en la forma deseada en las fronteras.