Una elipse tiene la ecuación de $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9} = 1$ $P(p,q)$ es un punto de la elipse. Puntos de $F_1$ $F_2$ tienen coordenadas $(-4,0)$$(4,0)$. Demostrar que la suma de las distancias $|PF_1|$ +$|PF_2|$ no depende del valor de la p.
En primer lugar, para encontrar la distancia $|F_1P|$
$|F_1P| = \sqrt{(p+4)^2 + q^2}$
como $\frac{p^2}{25}+\frac{q^2}{9} = 1$
$\frac{9p^2}{25}+q^2 = 9$
$q^2 = 9-\frac{9p^2}{25}$
$|F_1P| = \sqrt{p^2+8p+16 + 9-\frac{9p^2}{25}}$
$= \sqrt{\frac{16}{25}p^2+8p-25}$
$= \sqrt{\frac{1}{25}(16p^2+200p-625)}$
$= \frac{1}{5}\sqrt{(4p+25)^2}$
$= \frac{1}{5}(4p+25)$
Hallar la distancia $|F_2P|$
$|F_2P| = \sqrt{(4-p)^2 + q^2}$
$= \sqrt{p^2-8p+16 + 9-\frac{9p^2}{25}}$
$= \sqrt{\frac{16}{25}p^2-8p-25}$
$= \sqrt{\frac{1}{25}(16p^2-200p-625)}$
$= \frac{1}{5}\sqrt{(4p-25)^2}$
$= \frac{1}{5}(4p-25)$
Por lo tanto
$|F_1P|+|F_2P|= \frac{1}{5}(4p-25)+\frac{1}{5}(4p+25) = \frac{8}{5}p$
Esto es exactamente lo que estamos tratando de refutar. Yo hubiera cometido un error en alguna parte. Por favor alguien puede explicar de dónde me salió mal. Mi respuesta parece ser el negativo de lo que debería ser. Espero que la respuesta correcta será de 10 unidades, pero por alguna razón no parece funcionar.
Respuestas
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Tenga en cuenta que$y=0$ da$x=\pm5$, por lo que$-5 \le p \le 5$ para todos los puntos$P(p,q)$ en la elipse. Por lo tanto:
$$ | F_1P | = \ frac {1} {5} \ sqrt {(4p +25) ^ 2} = \ frac {1} {5} | 4p +25 | = \ frac {1} {5} (25 +4p) \\ | F_2P | = \ frac {1} {5} \ sqrt {(4p-25) ^ 2} = \ frac {1} {5} | 4p-25 | = \ color {red} {\ frac {1} {5} (25-4p)} $$
El error clave que cometió aquí es la simplificación de las raíces cuadradas. En realidad, dado que una raíz cuadrada siempre es positiva, debe obtener$\vert F_1P\vert = \frac{|4p+25|}{5} $ y$ \vert F_2P\vert = \frac{|4p-25|}{5}$. Sin embargo, tenga en cuenta$ -5 \leq p \leq 5$, entonces$ -20 \leq 4p \leq 20$ y$\frac{|4p+25|}{5} = \frac{4p+25}{5}, \frac{|4p-25|}{5} = \frac{-4p+25}{5}$ Sumando las dos distancias,$p$ cancela.
