Norma del operador y matriz unitaria

Question

Tengo la siguiente matriz de productos $XYZ$ con $X,Y,Z$ todo $n\times n$ matrices. $X$ y $Z$ son matrices unitarias, es decir, preservan la norma: para cada vector $v$ tenemos $\|Xv \| = \|v\|$ .

Estoy tratando de demostrar que $\| XYZ \| = \|Y\|$ con como norma elegida la norma del operador.

Ahora estoy seguro de que puedo decir $\|XYZ v \| = \|YZ v\|$ como la matriz $X$ preserva la norma para cada vector (incluido el vector $YZ v$ ). Pero no estoy seguro de poder decir que $\|XYZ v\| = \|XY v\|$ . Si este último es también el caso, he terminado.

Answer 1

Sólo hay que fijarse en lo siguiente $$ \Vert XYZ \Vert = \sup_{\Vert x \Vert = 1} \Vert XYZ x\Vert = \sup_{\Vert x \Vert = 1} \Vert YZ x\Vert = \sup_{z = Zx, \Vert z \Vert = 1} \Vert Y z\Vert = \sup_{\Vert x \Vert = 1} \Vert Y x\Vert = \Vert Y \Vert.$$ La segunda igualdad se debe a tu argumento anterior y la tercera al hecho de que la esfera unitaria es invariante bajo la multiplicación con $Z$ .

Answer 2

Otra forma de verlo:

Para cualquier mapa lineal $A$ en un espacio de producto interno tenemos que $\|A\|= \sup_{\|x\|= \|y\| = 1}\langle Ax,y\rangle$ .

En nuestro caso:

$$\|XYZ\|= \sup_{\|x\|= \|y\| = 1}\langle (XYZ)x,y\rangle = \sup_{\|x\|= \|y\| = 1}\langle XY(Zx),X(X^*y)\rangle $$

$X$ y $Z$ son unitarios y, por tanto, biyectivos, por lo que podemos sustituir $u = Zx$ y $X^{*}y$ . Además, la preservación de la norma da $\|u\| = \|Zx\| = \|x\|$ y $\|v\| = \|X^*y\| = \|y\|$ . Por lo tanto:

$$\|XYZ\| = \sup_{\|u\|= \|v\| = 1}\langle Yu, v\rangle = \|Y\|$$

Answer 3

El adjunto de un operador en un espacio de Hilbert tiene la misma norma que el operador original por lo que utilizando la unitariedad de $X$ y $Z^*$ tenemos $\|XYZ\| = \|YZ\|=\|Z^*Y^*\|=\|Y^*\|=\|Y\|$ .

Answer 4

La igualdad $\Vert XYZv \Vert = \Vert XY v\Vert$ seguramente no es válida. Por ejemplo, en la dimensión $2$ con base canónica $(e_1,e_2)$ , $X=Id$ , $Z$ la rotación del ángulo $\pi/2$ y $Y$ definido por $Ye_1=0$ y $Ye_2=e_1$ . Entonces $XYZe_1=e_1$ mientras que $XYZe_2=0$ .