Digamos que tengo tres números, $a,b,c\in\mathbb C$ . Sé que si $a$ eran complejas, ya que $abc$ ser real, $bc=\overline a$ . ¿Es posible que $b,c$ sean ambos complejos, ¿o sólo es posible que uno lo sea, siendo el otro un escalar?
Esta es la respuesta correcta, pero no explica por qué tal z tiene que existir, y la forma rectangular tampoco lo aclara. Señalar que este valor es simplemente un tercio de un círculo en coordenadas polares podría ser más útil.
¿No te parece pretencioso decir "id est" cuando es decir se adoptó en inglés como abreviatura de "that is"?
Si se representa un número complejo utilizando coordenadas polares (ángulo y una distancia desde cero), se sabe que multiplicar los números en esta forma trigonométrica es mucho más fácil que en la forma algebraica - simplemente se multiplica la distancia y añada los ángulos:
$$z_1=r_1(\cos(_1)+i\sin(_1))$$ $$z_2=r_2(\cos(_2)+i\sin(_2))$$ $$z_1z_2=r_1r_2(\cos(_1+_2)+i\sin(_1+_2))$$
Una vez acostumbrado a esto, el resto es sencillo. Si $$ is parallel with the x axis (0 or 180°, $ \sin =0$), el número es real, por lo que su única tarea es encontrar tres ángulos que sumen 0 (mod 180°). Hay un número infinito de ellos.
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Aquí sólo importa la fase de los números complejos; así que sólo estás buscando tres números reales que no sean múltiplos de $\pi$ pero que suman un múltiplo de $\pi$ . Creo que probablemente puedas arreglártelas.
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Sé que si $a$ eran complejas, ya que $abc$ ser real, $bc=a^*$ -- No. Eso es falso. Sólo toma $b=0$ por ejemplo.
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$(1+0i)(1+0i)(1+0i)$
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Creo que la pregunta más interesante sería tres distinto y no real números complejos
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@Mitch No es difícil. Di, $(-i)(1+2i)(2+i)$ es real. Mientras las "fases" o argumentos de los números sumen algo paralelo al eje real, funcionará. No es en absoluto difícil hacer que los factores sean distintos.
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Siguiendo con Jeppe, esto es bastante obvio geométricamente. Recordemos que al multiplicar dos números complejos se suman los ángulos. Por lo tanto, elegir tres números complejos con un ángulo de $120$ grados. Esto forma un rayo que se extiende desde el origen de los candidatos, por lo que sabemos que hay infinitas opciones posibles. De hecho, podemos demostrar la suryectividad en los reales con un poco de trabajo :) (nótese que también podemos multiplicar para obtener números negativos eligiendo números complejos con ángulos de $60$ grados). De forma más general, podemos elegir cualquier tres números complejos cuyos ángulos suman $0$ o $180$ grados.
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@JeppeStigNielsen Creo que lo que quiere decir Mitch es que la pregunta está mal formulada. Es fácil encontrar tres números complejos cuyo producto sea real: por ejemplo, $1,2,3.$ Por analogía, consideremos el problema de encontrar tres números racionales cuyo producto sea un número entero.
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es.wikipedia.org/wiki/Raíz_de_la_unidad
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Desde $i^2$ es real, para tres números $i^2 = i^{2/3} \times i^{2/3} \times i^{2/3}$ si no es necesario que los números sean distintos.
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En realidad, la pregunta se refiere a la posibilidad de factorizar un número complejo en dos números complejos, es decir $bc=a$ ( $a$ o $\overline a$ no importa). Evidentemente, $c=a/b$ funciona.