La orden de una clase GACION es limitada por el índice del centro de

Question

Si el centro de un grupo de $G$ es de índice $n$, probar que cada clase conjugacy tiene en la mayoría de las $n$ elementos. (Esta pregunta es de Dummit y Foote, página 130, 3ª edición).

Aquí está mi intento: hemos

$|G| =|C_G (g_i)| | G : C_G (g_i)| $

$|C_G (g_i)| =|Z(G)| \cdot |C_G (g_i):Z(G)| $.

Entonces

$|G|= |Z(G)|\cdot |C_G (g_i):Z(G)|\cdot | G : C_G (g_i)| $.

Entonces

$n = |C_G (g_i):Z(G)|\cdot | G : C_G (g_i)| $.

Pero $|C_G (g_i):Z(G)|$ es positivo integar como $ Z(G)$ es subgrupo de $C_G (g_i)$.

Si $| G : C_G (g_i)|$ más grande que la de $n$, $|C_G (g_i):Z(G)|\cdot | G : C_G (g_i)|$ es mayor que $n $.

Pero

$|C_G (g_i):Z(G)|\cdot | G : C_G (g_i)|=n$, contradicción.

A continuación, $| G : C_G (g_i)|\le n$ y esto completa la prueba.

Es esta una prueba o no ??!!!

Answer 1

La prueba es correcta, pero puede simplificar el final diciendo que %#% $ de #% realmente una contradicción no es necesaria.