¿Es isomorfo a un subgrupo de $G$ cada cociente de un grupo abelian finito $G$?

Question

Estoy teniendo dificultad con el ejercicio 1.43 de Lang Álgebra. La pregunta de los estados

Deje $H$ ser un subgrupo de un determinado grupo abelian $G$. Mostrar que $G$ tiene un subgrupo que es isomorfo a $G/H$.

Pensando en esto por un momento, el único método razonable de lo que podía pensar era construir algunos surjective homomorphism $\phi\colon G\to K$$K\leq G$, e $\ker\phi=H$, y, a continuación, sólo utilizar los teoremas de isomorfismo para obtener el resultado.

Después de un rato de intentar, he fallado a venir para arriba con un buen mapa, debido a que $H$ parece tan arbitrario. Tengo curiosidad, ¿cómo se puede construir el deseado homomorphism? Esto es sólo el enfoque que he pensado, si hay uno mejor, no me importaría ver que cualquiera en su lugar. Gracias.

Answer 1

Desde un finito abelian grupo es la suma directa de sus $p$-partes, es suficiente para establecer el resultado al $G$ es de un número finito de abelian $p$-grupo.

Si $G=C_{p^{a_1}} \oplus\cdots\oplus C_{p^{a_k}}$,$1\leq a_1\leq\cdots \leq a_k$, y deje $Q$ ser un cociente de $G$. A continuación, $Q$ es de un número finito de abelian $p$-grupo que es generado por $k$-elementos (las imágenes de los generadores de $G$), y por lo que cuando se expresa como una suma directa de cíclico $p$-grupos, que tendrá a la mayoría de las $k$ directa sumandos, $$Q \cong C_{p^{b_1}}\oplus\cdots\oplus C_{p^{b_m}},$$ $1\leq b_1\leq \cdots\leq b_m$, $m\leq k$.

Ahora, $b_m\leq a_k$, debido a que cada elemento de a $G$ es de orden dividiendo $p^{a_k}$, de ahí que el mismo es cierto para $Q$. Por lo $C_{p^{a_k}}$ tiene un subgrupo de orden $p^{b_m}$.

Asimismo, $b_{m-1}\leq a_{k-1}$ (contar el número de elementos de orden mayor que $p^{a_{k-1}}$$G$; un elemento de orden mayor que $p^{a_{k-1}}$ $Q$ debe ser una imagen de uno de estos). Así que usted puede encontrar un subgrupo de $C_{p^{a_{k-1}}}$ orden $p^{b_{m-1}}$.

Continuar de esta manera hasta que llegue a todos los cíclico sumandos es necesario salir de la cíclico sumandos de $G$ a la construcción de un subgrupo isomorfo a $Q$.

Answer 2

Tengo algunas notas sobre la (principalmente finito) abelian grupos de pregrado de la audiencia aquí.

El hecho de que si $G$ es abelian cada subgrupo es normal que aparece en la página 1.

El resultado que usted está preguntando acerca de que es el Teorema de 19 en la página 8 de mis notas. Ten en cuenta que aunque la prueba está en las notas, toma un poco de tiempo para llegar allí...el punto es que este tipo de usos, además del carácter básico de la teoría de finito abelian grupos, el hecho de que un número finito de abelian grupo no es canónicamente isomorfo a su carácter de grupo, que a su vez utiliza la estructura principal teorema para finitos abelian grupos.

Agregado: es posible prescindir de los caracteres de la teoría (aunque para mi gusto esta es una forma agradable y limpia para la frase), pero no parece que sea posible para evitar que la estructura teorema, que es una famosa, y la famosa frase trivial, resultado. Tenga en cuenta que, en particular, de Arturo bonita respuesta no utilice caracteres de la teoría, sino que hace uso de la estructura teorema de...dos veces.