Una diferenciación bajo el signo integral

Question

Deje $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ser una función de Lebesgue summable en todas las $\mu$medible y acotada subconjuntos de a $\mathbb{R}^n$ donde $\mu$ es lo habitual en la medida de Lebesgue definido en $\mathbb{R}^n$, y deje $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ ser una función de la clase de $C^k(\mathbb{R}^n)$ cuyo apoyo está contenida en el subconjunto compacto $V\subset\mathbb{R}^n$. Que implica que todos los derivados de $g$ $k$- th, están delimitadas y apoyo en el seno de $V$.

Sospecho que estas condiciones son suficientes para garantizar que la función de $$h(\boldsymbol{x}):=\int_V f(\boldsymbol{y}-\boldsymbol{x})g(\boldsymbol{y})\,d\mu_{\boldsymbol{y}}$$is of class $C^k(\mathbb{R}^n)$. In fact, I notice, if I am not wrong, that $$h(\boldsymbol{x})=\int_{V-\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{y})\bar{g}(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x})\,d\mu_{\boldsymbol{y}}=\int_{\mathbb{R}^n} f(\boldsymbol{y})\bar{g}(\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x})\,d\mu_{\boldsymbol{y}}$$where $$\bar{g}(\boldsymbol{y}) := \begin{cases} g(\boldsymbol{y}), & \boldsymbol{y}\in V \\ 0, & \boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^n\setminus V \end{cases}$$and $V-\boldsymbol{x}=\{\boldsymbol{y}\in\mathbb{R}^n:\boldsymbol{y}+\boldsymbol{x}\en V\}$, and I suppose that the conditions on $g$ puede ser suficiente para que nos permiten diferenciar bajo el signo integral.

Es mi intuición de que $h\in C^k(\mathbb{R}^n)$ correcto y, si es así, ¿cómo podemos demostrarlo?

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_{Un ensayo mío: sé que un corolario de Lebesgue del teorema de convergencia dominada de que}

_{- si $f:V\times [a,b]\to \mathbb{R}$, $(\boldsymbol{x},t)\mapsto f(\boldsymbol{x},t)$ con $V$ medible es tal que $\forall t\in[a,b]\quad f(-,t)\in L^1(V)$, es decir, la función de $\boldsymbol{x}\mapsto f(\boldsymbol{x},t) $ es Lebesgue summable en $V$,}

_{- y si no es un barrio de $B(t_0,\delta)$ $t_0$ tal que, para casi todos los $\boldsymbol{x}\in V$ y para todos $t\in B(t_0,\delta)$, $\left|\frac{\partial f(\boldsymbol{x},t)}{\partial t}\right|\le\varphi(\boldsymbol{x})$, donde $\varphi\in L^1(V) $, luego $$\frac{d}{dt}\int_V f(\boldsymbol{x},t) d\mu_{\boldsymbol{x}}\bigg|_{t=t_0}=\int_V\frac{\partial f(\boldsymbol{x},t_0)}{\partial t}d\mu_{\boldsymbol{x}}$$but I am not able to find a proper $\varphi$ a utilizar en este contexto. Sin embargo, yo no estaría sorprendido si no hubiera un aún más sencillo método para probar que la integral y derivativo signo puede ser conmutado...}

Answer 1

Su intuición es correcta, si $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ es localmente integrable, y si $g \in C_c^k(\mathbb{R}^n)$, entonces la función de $h$ dada por

$$h(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(y-x)g(y)\,d\mu_y$$

pertenece a $C^k(\mathbb{R}^n)$, y sus derivadas parciales de orden $\leqslant k$ están dadas por

$$D^{\alpha} h(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(y-x)D^{\alpha} g(y)\,d\mu_y.$$

El cambio de coordenadas $z = y-x$ nos da

$$h(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(z)g(z+x)\,d\mu_z,\tag{$\ast$}$$

y en que forma se le puede aplicar el teorema de convergencia dominada para justificar la diferenciación en virtud de la integral.

Dejamos $K := \operatorname{supp} g$, y definir $L = \{x \in \mathbb{R}^n : \operatorname{dist}(x,K) \leqslant 1\}$. A continuación, $L$ también es compacto, por lo tanto finito de medida de Lebesgue. Ahora nos revisión arbitraria $x_0 \in \mathbb{R}$ y muestran que $h$ es continuamente diferenciable en a $B_1(x_0)$. El integrando en $(\ast)$ sólo es distinto de cero para $z$ tal que $z+x \in K$, y la reorganización de da $z \in K + (x_0 - x) - x_0$. Ya sólo nos fijamos en $x$$\lVert x-x_0\rVert < 1$,$K + (x_0 - x) \subseteq L$, por lo que

$$f(z)g(z+x) \neq 0 \implies z \in L - x_0$$

para $x\in B_1(x_0)$. Como una función continua con soporte compacto, $g$ es acotado, decir $\lvert g(y)\rvert \leqslant M$ todos los $y$. Entonces tenemos

$$\lvert f(z)g(z+x)\rvert \leqslant M\cdot \lvert f(z)\rvert \cdot \chi_{L - x_0}(z)$$

para todos los $z \in \mathbb{R}^n$, y la elección de $d(z) := M\cdot \lvert f(z)\rvert \cdot \chi_{L - x_0}(z)$ como el que domina la función de los rendimientos de la continuidad de $h$$B_1(x_0)$. Si $k \geqslant 1$, entonces las derivadas parciales de $g$ son de todas las funciones continuas con soporte compacto, y por lo tanto limitada. Podemos suponer que la $\lvert \partial_{i}g(y)\rvert \leqslant M$ todos los $y\in \mathbb{R}^n$$1 \leqslant i \leqslant n$. A continuación, $d$ es también una función dominante para

$$f(z)\partial_i g(z+x),$$

y otra aplicación del teorema de convergencia dominada - repsectively de la mencionada corolario - los rendimientos de la continua parcial de la diferenciabilidad de $h$$B_1(x_0)$, y la fórmula

$$ \frac{\partial h}{\partial x_i} (x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(z) \partial_i g(z+x)\,d\mu_z.$$

Si $k > 1$, podemos repetir el argumento para obtener la existencia y continuidad de la orden superior derivadas parciales de $h$$B_1(x_0)$. Desde $x_0$ fue arbitraria, se deduce que el $h \in C^k(\mathbb{R}^n)$.