¿Qué se sabe de la asintótica de la ecuación de Riccati?

Question

Estoy interesado en examinar el comportamiento asintótico de las ecuaciones de Riccati de la forma

$$ y'(x) = f(x) + g(x) y^2(x) $$

para $x \to \infty$ . He investigado un poco, pero no he podido encontrar una explicación sencilla de cómo calcular algo así. Si eso es demasiado general, entonces tome este ejemplo

$$ y'(x) = 10x e^{-2x} - \frac{10}{x^2} y^2 $$ Parece "obvio" sólo con ver esto que como $x \to \infty$ tenemos $y'(x) \to 0$ así que $y \to \text{constant}$ . Algunas simulaciones numéricas han demostrado que $y \sim 0.17$ para grandes $x$ pero ¿es posible mostrar esto (lo más importante, el valor real de la constante) directamente desde la ecuación?

Answer 1

Una respuesta rápida sería que esto depende en gran medida de $f$ y $g$ pero eso es bastante obvio. En este caso, hay una clara diferencia entre el índices de convergencia con el que $f$ y $g$ tienden a cero. Mientras que $f$ converge exponencialmente rápido a cero, $g$ se acerca a cero de forma algebraica, es decir, mucho más lentamente. Por lo tanto, si se toma $x$ suficientemente grande, la EDO puede aproximarse mediante \begin{equation} y'(x) = -\frac{10}{x^2} y(x)^2 + \mathcal{O}(e^{-\alpha x}) \end{equation} para cualquier $0<\alpha<2$ . La solución de esta EDO es \begin{equation} y_\text{far}(x) = \frac{x}{\frac{1}{y_\infty}x - 10}, \end{equation} donde $\lim_{x \to \infty} y_\text{far}(x) = y_\infty$ . Así, a partir del comportamiento de la EDO para grandes $x$ no podemos deducir fácilmente su valor límite.

Para los pequeños $x$ , $f$ puede aproximarse como \begin{equation} f(x) = 10 x-20 x^2 + \mathcal{O}(x^3) \end{equation} Obviamente, $g(x)$ es (de nuevo) el término dominante en la EDO, ya que $g$ diverge como $x \to 0$ . Sin embargo, si se descuida la contribución de $f$ daría de nuevo la solución $y_\text{far}$ que converge a cero cuando $x \to 0$ . Además, la divergencia de $g$ implica que cualquier solución $y$ que tiene una derivada acotada debería converger a cero al menos tan rápido como $x^2$ .

Si sólo te interesa el comportamiento asintótico de las soluciones como $x \to \infty$ Me imagino que no te importa tanto si $y$ converge en absoluto si $x \to 0$ . En ese caso, si se toma una condición inicial lo suficientemente grande (en este caso tomando $x_0 > 3$ sería suficiente), se puede obtener una buena aproximación para $y_\inf$ calculando \begin{equation} y_0 \approx y_\text{far}(x_0) = \frac{x_0}{\frac{1}{y_\inf}x_0 - 10}, \end{equation} así que \begin{equation} y_\inf \approx y_0 \frac{1}{1+10 \frac{y_0}{x_0}}. \end{equation}