Esta pregunta es en mi tarea. No se nos permite usar cualquier símbolo para representar cualquier elementales de fila y columna de operaciones utilizadas en la solución. Debemos resolverlo paso a paso. Por favor me ayudan a comprobar mi solución palabra por palabra, incluyendo mi ortografía y gramática.
Pregunta:
Hallar la inversa de
$$A=\begin{pmatrix}2& 2& 3\\ 2& 5& 3\\ 1& 0& 8\end{pmatrix}$$
sólo mediante operaciones elementales con sus filas.
Solución:
Comenzamos por la formación de la matriz $\begin{pmatrix} A & | & I_3 \end{pmatrix}=\left(\begin{array}{ccc|ccc}2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0\\1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$. Intercambiando la primera y tercera filas de la matriz $\begin{pmatrix} A & | & I_3 \end{pmatrix}$, obtenemos la matriz de $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0\\2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$. La adición de $(-2)$ veces la primera fila de la matriz $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0\\2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ a de la segunda fila, obtenemos la matriz de $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 5 & -13 & 0 & 1 & -2\\2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$. Multiplicando la segunda fila de la matriz$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 5 & -13 & 0 & 1 & -2\\2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$$\frac{1}{5}$, obtenemos la matriz de $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{13}{5} & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\\2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$. La adición de $(-2)$ veces la primera fila de la matriz $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{13}{5} & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\\2 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ a su tercera fila, obtenemos la matriz de $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{13}{5} & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\\0 & 2 & -13 & 1 & 0 & -2\end{array}\right)$. La adición de $(-2)$ veces la segunda fila de la matriz $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{13}{5} & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\\0 & 2 & -13 & 1 & 0 & -2\end{array}\right)$ a su tercera fila, obtenemos la matriz de $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{13}{5} & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\\0 & 0 & -\frac{39}{5} & 1 & -\frac{2}{5} & -\frac{6}{5}\end{array}\right)$. La multiplicación de la tercera fila de la matriz$\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{13}{5} & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\\0 & 0 & -\frac{39}{5} & 1 & -\frac{2}{5} & -\frac{6}{5}\end{array}\right)$$(-\frac{5}{39})$, obtenemos la matriz de $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{13}{5} & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\\0 & 0 & 1 & -\frac{5}{39} & \frac{2}{39} & \frac{2}{13}\end{array}\right)$. La adición de $(\frac{13}{5})$ veces la tercera fila de la matriz $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & -\frac{13}{5} & 0 & \frac{1}{5} & -\frac{2}{5}\\0 & 0 & 1 & -\frac{5}{39} & \frac{2}{39} & \frac{2}{13}\end{array}\right)$ a de la segunda fila, obtenemos la matriz de $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{5}{39} & \frac{2}{39} & \frac{2}{13}\end{array}\right)$. La adición de $(-8)$ veces la tercera fila de la matriz $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{5}{39} & \frac{2}{39} & \frac{2}{13}\end{array}\right)$ a su primera fila, obtenemos la matriz de $\left(\begin{array}{ccc|ccc}1 & 0 & 0 & \frac{40}{39} & -\frac{16}{39} & -\frac{3}{13}\\0 & 1 & 0 & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\0 & 0 & 1 & -\frac{5}{39} & \frac{2}{39} & \frac{2}{13}\end{array}\right)$. Por lo tanto, $A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{40}{39} & -\frac{16}{39} & -\frac{3}{13}\\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0\\ -\frac{5}{39} & \frac{2}{39} & \frac{2}{13}\end{pmatrix}$.
