Permita que$x_n $ y$y_n$ sean dos secuencias de números reales positivos, luego$\displaystyle\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_n+y_n}= \max\left\{\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_n} \hspace{1 mm} ; \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{y_n} \right\} $
Mostré el resultado si tanto$x_n $ como$y_n$ convergen a diferentes límites, pero no sé qué hacer en caso de que sean iguales (los límites). EDITAR:
dejar$\displaystyle\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{x_n}=l$ y$\displaystyle\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{y_n}=l'$ y$l>l'$
tenemos$|\sqrt[n]{x_n}-l|<\epsilon$ y$|\sqrt[n]{y_n}-l'|<\epsilon$ take$\epsilon=\displaystyle\frac{l-l'}{2}$ luego$l-\displaystyle\frac{l-l'}{2}<\sqrt[n]{x_n}$$\implies \left(\displaystyle\frac{l+l'}{2}\right)^n<x_n$ también tenemos$\sqrt[n]{y_n}<l'+\displaystyle\frac{l-l'}{2}$ luego${y_n}<\left(\displaystyle\frac{l+l'}{2}\right)^n$, por lo tanto$x_n>y_n$ luego$\sqrt[n]x_n <\sqrt[n]{x_n+y_n}< \sqrt[n]{2x_n}$, por lo tanto, por el squeeze theorem$\sqrt[n]{x_n+y_n}=l$
Pero que si $l=l'$
