Saber preguntar por intuición en matemáticas es un enfoque generalmente deficiente, pero alguien puede dar alguna razón ¿por qué sólo los cuatro primeros alternando grupos es simple no?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Creo que el mejor ejercicio para usted sería la de ir a examinar cuidadosamente una prueba del hecho de que $A_n$ es simple para $n\geq5$.
En pocas palabras, usted encontrará que 5 símbolos es el mínimo necesario para tirar de trucos para demostrar que $A_n$ es simple. Para $A_3$, simplemente no hay espacio para la normal y adecuada de los subgrupos. Para $A_4$, sólo hay suficientes símbolos para tener un subgrupo, pero son muy pocos los símbolos disponibles para evitar que sea normal. Por eso, $A_4$ sólo pasa a tener el Klein 4-grupo como un subgrupo normal.
Debido a la variedad en el 5+ grupos de símbolos, siempre es posible demostrar que un subgrupo normal contiene un 3-ciclo, y por lo tanto (por un lexema es probable que vea en su libro) es la totalidad de la alternancia de los subgrupos.
Alexander Gruber
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En realidad $A_0,A_1,A_2$ son triviales y $A_3\cong C_3$ es sencilla, por lo que en realidad son sólo preguntando acerca de la $A_4$.
Deje $V_n$ ser el conjunto de todas las permutaciones en $n$ letras de la forma $(2)(2)$ - es decir, todos los productos de $2$-ciclos. Podemos ver rápidamente que $V_n$ es estable bajo la conjugación debido a que el ciclo de la conjugación conserva el tipo de ciclo. Por lo tanto $\langle V_n \rangle$ siempre es un subgrupo normal de $A_n$. (Nota. De una manera más amplia a ver que $V_n$ es normal, de hecho característico, en $A_n$, véase la EDICIÓN de mi respuesta aquí.)
Hay exactamente tres elementos de tipo $(2)(2)$ que puede hacerse de $4$ letras: $$V_4 = \{(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}.$$ We can easily verify that $V_4$ (along with the identity) is closed, so $\langle V_4 \rangle$ is a normal subgroup of $A_4$ of order $4$.
Para $n\geq 5$, sin embargo, esto no funciona porque $V_n$ genera $A_n$ y por lo tanto no es adecuado. Esto por sí solo no es suficiente para probar que el $A_n$ no es simple, pero es suficiente para sugerir de forma intuitiva. La teoría de Sylow termina el trabajo.
