Cualquier dos caminos en $X = \mathbb{R}^n$ tener misma inicial y punto final son homotópicas

Question

Supongamos que $X = \mathbb{R}^n$. Que $\gamma, \alpha : [0,1] \to X $ ser por caminos tales que $\gamma(0) = \alpha(0) = x_0 , \; \; \gamma(1) = \alpha(1) = x_1$. Queremos mostrar $\gamma$ y $\alpha$ son homotópicas.

Mi intento: tomar $F(s,t) = f_t(s) = (1-t)\gamma(s) + t\alpha(s)$

Claramente, $F(0,t) = x_0$ y $F(1,t) = x_1$.

Puesto que continua $\alpha, \gamma, t, 1$, $F$ debe ser función continua. Por lo tanto es una homotopía. Por lo tanto $\alpha$ y $\gamma$ son homotópicas

¿ES esto suficiente para demostrar que son homotópicas?

Answer 1

Sí, es perfecto. Tenga en cuenta que esta prueba también funcionaría si $\mathbb{R}^n$ fueron substituido por cualquier subconjunto convexo.