En el capítulo 3 de su libro Elementos de la Teoría de conjuntos, Enderton define el valor de una función $F$ a un punto de $x$ en su dominio $\text{dom} \, F$ a de ser la única $y$ tal que $\langle x,y \rangle \in F$, y se denota por a $F(x)$. Entonces, él resuelve explícitamente el uso de esta notación sólo al $F$ es una función de y $x \in \text{dom} \, F$.
Ahora considere el siguiente problema (ejercicio 12 del mismo capítulo):
- Suponga que $f$ $g$ son funciones y demostrar que $$ f \subseteq g \iff \text{dom} \, f \subseteq \text{dom} \, g \ \& \ (\forall x \in \text{dom}\,f) f(x) = g(x)$$
Estoy teniendo problemas para ir desde la derecha a la mano izquierda. Es intuitivamente claro para mí que la implicación es verdadera. Sin embargo, cuando se intenta formalizar mi intuición, me quedo atascado. En particular, cuando se trata de traducir la declaración de $$(\forall x \in \text{dom}\,f) f(x) = g(x)$$ to a well formed formula (wff), I don't know how to handle the fact that if $x$ is not in $\text{dom}\,g$, then the expression $g(x)$ es de sentido (de acuerdo a la convención notacional se declaró anteriormente).
Soy consciente de que si el otro lado derecho de la condición, $\text{dom} \, f \subseteq \text{dom} \, g$, es cierto, es $g(x)$ siempre será significativo. Sin embargo, esto no parece ser de alguna ayuda en la obtención de un wff para la expresión anterior, que debe ser significativa independientemente de cualquier conjuntos podríamos adjuntar a la misma.
He intentado un par de diferentes interpretaciones, que más tarde traducido completamente a wffs:
$\forall x [x \in \text{dom}\,f \implies \forall y \forall z (\langle x,y \rangle \in f \& \langle x,z \rangle \in g \implies y=z)]$
$\forall x [x \in \text{dom}\,f \implies (\text{$f$ and $g$ are functions defined over x} \implies \forall y \forall z (\langle x,y \rangle \in f \& \langle x,z \rangle \in g \implies y=z))]$
$\forall x [x \in \text{dom}\,f \implies (\text{$f$ and $g$ are functions defined over x} \implies \exists y (\langle x,y \rangle \in f \& \langle x,y \rangle \in g))]$
Todos ellos parecen ser condiciones suficientes para $f \subseteq g$, debido a que garantiza, junto con el resto de los locales, la igualdad de $f(x)$ $g(x)$ por cada $x \in \text{dom} \, f$. Sin embargo, que claramente no son equivalentes. Hay una verdad real o ambigüedad en el enunciado del problema o me estoy perdiendo algo?
