Valores propios de la transformación lineal de $V\otimes V\otimes V\otimes V$

Question

Sea $V$ un espacio vectorial de $\mathbb{C}$. Sea dim$ V = n$ y $W = V\otimes V\otimes V\otimes V$. Sea $f:W \to W$ una aplicación lineal definida por $f(a\otimes b\otimes c\otimes d) = d\otimes a\otimes b\otimes c $ $(a,b,c,d\in V)$.

Quiero demostrar que $f$ es diagonalizable y encontrar todos los autovalores de $f$ y la dimensión del espacio propio correspondiente a cada autovalor. Sin embargo, la matriz de representación de $f$ es demasiado grande para calcular el polinomio característico. ¿Hay alguna manera buena?

Answer 1

Como dice el comentario, basta con señalar que $f^4 = I$. Por lo tanto, el polinomio minimal de $f$ divide a $p(x) = x^4 - 1$, el cual se factoriza en un producto de factores lineales distintos sobre $\Bbb C$. Por lo tanto, $f$ debe ser diagonalizable con autovalores $\lambda \in \{\pm 1, \pm i\}.

Ahora, las dimensiones de los espacios propios: debido a que $f$ puede expresarse con coeficientes reales, debemos tener $\dim E_{i} = \dim E_{-i}$. Notamos que $$ E_i + E_{-i} = \ker(f^2 + I) = \{v \in \otimes^4 V: f^2(v) = -v\} $$ Ahora, notamos que $$ f^2([a \otimes b] \otimes [c \otimes d]) = [c \otimes d] \otimes [a \otimes b] $$ Usamos esto para concluir que $$ E_i + E_{-i} \cong (V \otimes V) \wedge (V \otimes V) $$ De lo cual podemos deducir que $\dim(E_i + E_{-i}) = 2 \dim(E_i) = \binom{n^2}{2}$. Entonces, tenemos $$ \dim E_i = \dim E_{-i} = \frac 12 \binom{n^2}2 = \frac{n^4 - n^2}{4} $$ Por lo tanto, la dimensión combinada de los espacios propios restantes es $$ \dim(E_1 + E_{-1}) = n^4 - \dim(E_i + E_{-i}) = n^2 - \binom{n^2}2 = \binom{n^2 + 1}{2} $$ Ahora basta determinar $\dim(E_1)$, notando que $$ E_1 = \{v : f(v) = v\} $$ Tomemos $\{e_1,\dots,e_n\}$ como una base de $V$. Notamos que podemos escribir cualquier $v$ como $$ v = \sum_{1 \leq i_1,i_2,i_3,i_4 \leq n}{\alpha_{(i_1,i_2,i_3,i_4)}}e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes e_{i_3} \otimes e_{i_4} $$ La condición de que $f(v) = v$ es equivalente a la afirmación de que $$ \alpha_{(i_1,i_2,i_3,i_4)} = \alpha_{(i_4,i_1,i_2,i_3)} = \alpha_{(i_3,i_4,i_1,i_2)} = \alpha_{(i_2,i_3,i_4,i_1)} $$ Por lo tanto, la dimensión de $E_1$ es el número de tales coeficientes con esta simetría. Es decir, es el número de "collares" distintos que consisten en $4$ elementos posiblemente repetidos de $\{1,\dots,n\}.

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Usando la lema de Burnside, podemos calcular $$ \dim(E_1) = \frac {n^4 + n^2 + 2n}4 $$ Con eso tenemos $$ \dim(E_{-1}) = \binom{n^2 + 1}2 - \frac{n^4 + n^2 + 2n}4 = \frac{n^4 + n^2 - 2n}{4} $$