Encontrar rango de$\frac{x}{(1-x)^2}$

Question

Estoy trabajando a pesar de algunos ejercicios. Una de ellas es pedir para encontrar el rango de $f(x) = \frac{x}{(1-x)^2}$. El capítulo de este ejercicio pertenece es después de la una, donde el poder de diferenciación de la regla se introdujo, pero antes de que aquella en la que el cociente regla es introducido. Mi enfoque fue la elaboración de una tabla de valores, pero este estaba poniendo incómodo y me frustré con el enfoque antes de encontrar la respuesta. Mi pregunta es, ¿hay analíticas sencillas maneras de encontrar el rango que no se basa en el cociente de la regla? Sospecho que no debe ser, porque de donde la pregunta se encuentra. Todos los existentes fracción relacionada con ejemplos en el libro han sido fácilmente manipulado para que se $\frac{number}{f(x)}$. Este es $\frac{f(x)}{g(x)}$ y mis intentos de hacer más simples los que están fallando.

Answer 1

Al inferir lo que estabas tratando de hacer, podrías haber escrito$f(x) = x (1-x)^{-2}$.

Como comentario, podrías resolver la ecuación$y = x / (1-x)^2$. ¡Incluso podría valer la pena resolver el problema en ambos sentidos!

Answer 2

Deje$$y=\frac{x}{(1-x)^2}\implies yx^2-(2y+1)x+y=0$ $

Esta es una ecuación cuadrática en$x$ y como$x$ es real, el discriminante$(2y+1)^2-4\cdot y\cdot y=4y+1$ debe ser$\ge 0$

Asi que, $-\frac14\le y<\infty $

Answer 3

Suponer$x/(1-x)^2=k$. Ahora esto se puede volver a actualizar como$k(1-x)^2-x=0$, que es una ecuación cuadrática ($k$ es constante). Ahora encuentra la condición en$k$ para la cual esta ecuación tiene raíces reales. Eso le dará el rango. Además, debe ocuparse del caso cuando$x=1$ ya que no está en el dominio. Pero en este caso,$x=1$ nunca puede ser la solución de la ecuación anterior.

Answer 4

$f$ se define en $(-1,1)$ y continua allí. Además $$f^{\prime}(x)=\frac{(1-x)^2+2x(1-x)}{(1-x)^4}=\frac{1-x+2x}{(1-x)^3}=\frac{1+x}{(1-x)^3}>0$$ como $-1<x<1$. También tenga en cuenta que si $g$ es el aumento en el $(a,b)$ $g$ es continua allí, a continuación, $$R_g=(\lim_{x\to a^+}g(x),\lim_{x\to b^-}g(x))$$

Incluso si el cociente regla no se presentó, puede utilizar la regla del producto para probarlo. $f$ no puede ser manipulado de la manera que usted desea. Lo mejor que puedes hacer es la siguiente:

$$\frac{x}{(1-x)^2}=\frac{x-1+1}{(x-1)^2}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}$$ pero creo que eso no ayuda demasiado. Por supuesto, usted puede resolver la ecuación $$y=f(x)$$ y la demanda que se tiene una solución para $x$, pero esto no es analítica