Cómo probar que la raíz máxima de un polinomio no tiene una fórmula de los radicales

Question

Deje $P(x) = 720 x^7-1800 x^6+1560 x^5-540 x^4+62x^3-x^2$.

Ya he demostrado que

1. todas las raíces de $P(x)$ $[0,1)$ y todos los no-cero raíces distintas,
2. el más alto de la raíz es $x^*=\frac{1}{30}\left(15 + \sqrt{15 (10 + \sqrt{15})}\right) \approx 0.98085$, y
3. $P(1)=1$.

Deje $P^{-1}(y)$ es la más alta de la raíz de $P(x)-y=0$$y \in [0,1]$. Por las propiedades anteriores, se trata de un bien definido estrictamente creciente y continua de la función, con $P^{-1}(0)=x^*$, $P^{-1}(1)=1$.

Me gustaría probar ese $P^{-1}(y)$ no tiene una fórmula en la que los radicales.

Supongo que esto debería ser posible para mostrar el uso de la teoría de Galois, pero, por desgracia, mi experiencia en álgebra abstracta no es lo suficientemente fuerte, lo que podría utilizar algunos consejos. Sólo para información de fondo: la verdad es que tengo una clase de polinomios y quiero demostrar que, al menos para algunos de ellos, no existe una fórmula para la función inversa. Esta en particular parece ser el más corto, donde las cosas se ponen complicadas. Si hay un argumento que funciona en general, sería aún mejor.

Answer 1

Vamos a mostrar para una elección particular de la $y$ que el grupo de Galois $\textrm{Gal}(Q)$ $Q(x) := P(x) - y$ contiene una transposición y un $7$-ciclo. Estos elementos juntos generar $S_7$, lo que, por tanto, el grupo de Galois de $Q(x)$. En particular, este grupo no es solucionable, así que para que la $y$ ninguna raíz de $Q(x)$ es expresable en los radicales, y por lo tanto no hay ninguna fórmula general.

El método es elemental, pero es una gran ayuda para tener un CAS para encontrar una adecuada $y$ (y para llevar a cabo algunas evaluaciones $Q(x_0)$ más tarde).

La transposición Por Descartes' Regla de los Signos, $Q(x)$ tiene más de $5$ positivo raíces y $Q(-x)$ ni positiva positiva raíces. Para $y \neq 0$, $0$ no es una raíz de $Q$, por lo que debido a $Q$ tiene el grado $7$, tiene, al menos, $2$ nonreal raíces.

Ahora, tome $y = \frac{1}{73}$. La comprobación de los signos de $Q(x_0)$ en puntos apropiados $x_0$ (por ejemplo,, $0$, $\frac{1}{8}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{5}{6}, 1$) muestra que $Q(x)$ tiene al menos $5$ bienes raíces, por lo tanto, por el de arriba tiene exactamente $5$ raíces. Por lo tanto, el complejo de la conjugación del mapa es una transposición en $\textrm{Gal}(Q)$.

$7$ciclo de Reducción de $73 Q(x)$ modulo $7$ da $$3\bar{Q}(x) = -(x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + 5) \in \Bbb F_7[x] .$$ Checking possible factorizations shows $3\barra de P$ has no factors of degree $\leq 3$ modulo $7$, hence it is irreducible, hence $Q$ is irreducible. (One can see quickly that $3\bar Q$ only takes on the values $4, 5$ using Fermat's Little Theorem, quickly eliminating the possibility that it has a linear factor.) In particular, $\textrm{Ga}(Q)$ contains a $7$-ciclo.

El valor de $73$ se producen en el denominador de $y$ es, por cierto, no es totalmente arbitraria: es el valor más pequeño tal que $Q$ tiene cinco raíces reales y es irreductible modulo $7$.

Answer 2

$P$ se puede interpretar geométricamente como un ramificada que cubren entre Riemann esferas $\{(y,x) \in P^1(\Bbb C)^2 \mid y = P(x) \} \xrightarrow{\pi_1} P^1(\Bbb C)$.

$P'$ tiene seis distintas distintas raíces en $[0;1]$, y la observación de la gráfica vemos que sus imágenes por $P$ ha $6$ valores distintos (los valores críticos de $P$). Por lo tanto, esta cubierta ha $6$ sencillo puntos de ramificación en los valores y un $7$-ciclismo punto de ramificación de la orden de $6$ en el punto en el infinito.

Este es el nombre genérico que abarca un grado $7$ polinomio, lo cual implica que su grupo de Galois, que también es el grupo de Galois de la extensión de campo $\Bbb C(f(x)) \subset \Bbb C(x)$$S_7$.

Con la continuación analítica, cualquier expresión radical de darle a usted la más grande de la raíz para $y \in [0;1]$ en términos de $y$ extendería a multivalor expresión radical de dar todas las raíces para cada número complejo, y esto implicaría que la extensión de campo es soluble por radicales.

Pero desde $S_7$ no es solucionable grupo, esto es imposible.

En general, se puede leer en el grupo de Galois de la extensión de la geometría de la cubierta, y más $\Bbb C$ esto se hace muy fácilmente.