I) en lo Ideológico, OP original de eq. (1)
$$\tag{1} \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_f~ \left| K(x_f,t_f;x_i,t_i) \right|^2 ~\stackrel{?}{=}~1 \qquad(\leftarrow\text{Wrong!})$$
los enfrentamientos (como OP de forma independiente a realizarse) con el principio fundamental de la Feynman ruta integral que la amplitud
$$K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )~=~\sum_{\rm hist.}\ldots$$
es una suma de historias, mientras que la probabilidad de
$$P( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )~=~|K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )|^2~\neq~\sum_{\rm hist.}\ldots $$
es no una suma de historias.
Concretamente, el fracaso de la eq. (1) también puede ser visto de la siguiente manera. Si asumimos que el$^1$
$$\tag{A} K( x_i ,t_i ; x_f ,t_f ) ~=~ \overline{K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i ) }, $$
y el (semi)propiedad de grupo de Feynman propagadores/kernels
$$\tag{B} K(x_f,t_f;x_i,t_i) ~=~ \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_m ~ K(x_f,t_f;x_m,t_m) K(x_m,t_m;x_i,t_i),$$
entonces el lado izquierdo. de OP original de la primera eq. (1) por $(x_i,t_i)=(x_f,t_f)$ no es igual a $1$, sino que se convierte en infinito
$$\tag{C} K(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~\delta(x_f-x_i)~=~\delta(0)~=~\infty, \qquad x_i=x_f,\qquad t_i=t_f, $$
porque de OP de la segunda fórmula (2).
II) El infinito de la normalización de resultado (C) puede ser comprendido intuitivamente como sigue. Recordar que los caminos en la ruta integral de satisfacer la condición de frontera de Dirichlet $x(t_i)=x_i$$x(t_f)=x_f$. En otras palabras, la partícula está localizada en $x$-la posición del espacio inicial y final de los tiempos. Por otro lado, una partícula localizada en $x$-la posición del espacio corresponde a una función delta de la función de onda $\Psi(x)=\delta(x-x_0)$, que no es normalizable, cf. e.g este y este Phys.SE postes.
III) en lo Ideológico, OP primera eq. (1')
$$\tag{1'} \left| \int_{\mathbb{R}}\! \mathrm{d}x_f~K(x_f,t_f;x_i,t_i) \right| ~\stackrel{?}{=}~1 \qquad(\leftarrow\text{Turns out to be ultimately wrong!})$$
es la declaración de que una partícula está inicialmente localizada en un espacio-tiempo de evento $(x_i,t_i)$ con una probabilidad de 100% dentro $x$espacio $\mathbb{R}$ en un tiempo final $t_f$, como nuestro QM modelo no permite la creación o la aniquilación de partículas. Sin embargo, la noción de absoluto las probabilidades de que el kernel de Feynman $K(x_f,t_f;x_i,t_i)$ no puede ser mantenida cuando la ideología se convierte en fórmulas matemáticas, como se discutió en detalle en este Phys.SE post. En general, OP primera eq. (1') sólo se mantiene durante períodos cortos de tiempo $\Delta t \ll \tau$ donde $\tau$ es alguna característica escala de tiempo del sistema.
IV) Ejemplo. Por último, consideremos el ejemplo de un no-relativista partícula libre en 1D. El propagador de Feynman , a continuación, lee
$$ K( x_f ,t_f ; x_i ,t_i )~=~ \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-A(\Delta x)^2}~=~ \sqrt{\frac{m}{2\pi i\hbar} \frac{1}{\Delta t}} \exp\left[ \frac{im}{2\hbar}\frac{(\Delta x)^2}{\Delta t}\right],$$
$$ \etiqueta{D}~:=~\frac{m}{2\manejadores} \frac{1}{\Delta t} , \qquad
\Delta x~:=~x_f-x_i, \qquad
\Delta t~:=~t_f-t_i ~\neq ~0. $$
[Es un instructivo ejercicio para demostrar que la fórmula (D) cumple nca. (A-C) y el OP de la segunda fórmula (2).] La integral de Gauss sobre $x_m$ es una
$$\tag{E} \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~ K(x_f,t_f;x_i,t_i)~=~1, $$
lo que muestra que el OP de la primera eq. (1') en realidad es para una partícula libre. El integrando
$$\tag{F} |K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2~=~ \frac{|A|}{\pi}~=~ \frac{m}{2\pi \hbar}\frac{1}{|\Delta t|}, \qquad \Delta t ~\neq ~0,$$
en el lado izquierdo. de OP original de la primera eq. (1) es independiente del punto medio $x_m$.
Por lo tanto la integral sobre la $x_m$ (es decir, en el lado izquierdo. de OP de la primera eq. (1)) se convierte en infinito
$$\tag{G} \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~ |K(x_f,t_f;x_i,t_i)|^2~=~ \frac{m}{2\pi \hbar}\frac{1}{|\Delta t|} \int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}x_f ~=~\infty, \qquad\Delta t ~\neq ~0,$$
de acuerdo con lo que hemos encontrado en la ecuación. (C) en la sección I.
Referencias:
- R. P. Feynman y A. R. Hibbs, la Mecánica Cuántica y la Ruta de acceso Integrales, 1965.
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$^1$ Nota de que la Ref. 1 se define el $K(x_f,t_f;x_i,t_i)=0$ si $t_i>t_f$, ver Ref. 1 entre eq. (4-27) y eq. (4-28). Aquí asumimos la propiedad (A) en su lugar.
