Conjuntos y clases

Question

No entiendo muy bien la diferencia entre grupos y clases.

Una clase consta de conjuntos. ¿Por qué es no una clase un conjunto?

Un grupo es un conjunto. ¿Una clase isomorfa del grupo no es un conjunto, derecho?

Podría explicarnos cómo distinguir un conjunto de una clase.

Answer 1

De trabajo en la teoría de conjuntos ZFC, todo el razonamiento acerca de las clases es estrictamente informal. Una clase informal es llevado a consistir de todos los conjuntos de satisfacer algunas condiciones. Por ejemplo, el 'universo' es la colección de conjuntos de $x$ que satisfacer $x=x$. Más formalmente, dos fórmulas $\phi$ $\psi$ (con una variable libre) se refieren a la misma clase si $\forall x(\phi(x) \leftrightarrow \psi(x))$, y un conjunto $x$ es un miembro de la clase mencionada por $\phi$ si y sólo si $\phi(x)$ es cierto. Denotamos esta clase por $\{ x\, :\, \phi(x)\}$, así por ejemplo, $\{ x\, :\, x=x \}$ es el universo, la clase de todos los conjuntos.

Todos los conjuntos son propios de las clases, pero es posible para una clase de no ser un conjunto. Deje $V$ denotar la clase de todos los conjuntos de satisfacciones $x=x$. Si $V$ eran entonces por el axioma esquema de separación dictaría que $W = \{ x \in V\, :\, x \not \in x \}$ eran de un conjunto. Pero, a continuación,$W \in W \leftrightarrow W \not \in W$, lo cual es evidentemente absurdo; de modo que la broca donde nos salió mal debe haber sido asumir que $V$ es un conjunto! Esta es la paradoja de Russell.

Algunas teorías tratar de las clases de objetos formales, tales como NBG y MK.

De todos modos, sí, un grupo se define como un conjunto de $G$ con alguna operación sobre ella, pero la clase de los grupos isomorfos a $G$ no puede ser un conjunto. Para ver un ejemplo simple, el isomorfismo de la clase de la trivial grupo contiene a $\{ x \}$ para cada conjunto $x$, con lo trivial, el grupo de operación $x \cdot x = x$. La clase de todos esos grupos no pueden ser un conjunto, ya que si lo fueron, no tendría biject con el universo a través de $\{x\} \mapsto x$, con lo que el universo un conjunto por el axioma esquema de sustitución (contradiciendo lo que hemos visto anteriormente).

Answer 2

En adición a todo lo que se ha escrito aquí, y antes (ver enlaces más abajo), permítame darle la más informal de la intuición sobre este tema.

Considere la posibilidad de los números naturales $\Bbb N$. Cada apropiado segmento inicial es finito, y, de hecho, representa a un determinado número finito. Pero no hay ningún número representado por $\Bbb N$. Por qué? Debido a $\Bbb N$ es demasiado grande para ser un número natural. Los números naturales son finitos, pero las colecciones de números naturales no tienen que ser finito.

En moderno conjunto de teorías, tales como ZFC, los objetos del universo son conjuntos. Y cada set tiene un tamaño, o cardinalidad. Las clases son de esas colecciones de conjuntos que no tienen un tamaño. Mucho como $\Bbb N$ es un segmento inicial que es demasiado grande para ser finito, las clases son colecciones que son demasiado grandes para ser conjuntos. (Una observación es que en algunos de conjunto de las teorías de las clases son objetos medibles tamaños, pero los que van más allá del alcance de ZFC y la ingenua teoría de conjuntos.)

Algunos enlaces, donde muchas de las palabras que se han escrito:

1. la diferencia entre la clase de conjunto, de la familia y de la colección de
2. La diferencia entre una clase y un conjunto
3. Lo que debemos llamar a los 'sets', que no existen en virtud de ciertos axiomas de la teoría de conjuntos?
4. Qué $A=\{a|\forall x\in \emptyset\ H(x,a) \}$ sentido?

Answer 3

Ingenuamente, cada una de las colecciones de las cosas, forma un conjunto. Sin embargo, la paradoja de Russell demuestra que este tipo de ingenuo construcción de llevar a la contradicción. Por lo tanto, hay una necesidad de ser más precisos. Una forma de hacerlo es decir: no podemos garantizar que no hay contradicciones para todos los concebible colecciones de cosas, pero tal vez podemos garantizar que para algunos de los más pequeños de la colección de colecciones que no hay problemas. Así que nos propusimos hacer una distinción entre las colecciones que están bien, y los llamamos conjuntos y colecciones que no se pueden aceptar, que llamamos adecuado de las clases. En realidad no podemos probar que para los conjuntos que no hay problemas, pero esperamos que el caso y el trabajo bajo el supuesto de que un modelo de conjuntos existe.

Dentro de este modelo, siempre que las entidades que se ocupan son conjuntos, entonces usted puede hacer todas las cosas que podemos hacer con los juegos, y no este tipo de construcción se llevan a una contradicción. Sin embargo, si usted trata con un poco de clases, a continuación, el modelo dice que "el que está en usted solo amigos". El modelo no puede garantizar que cualquier cosa que hagas con la debida clases estarán a salvo. Quizás, pero quién sabe.

Más formalmente, y para responder a sus preguntas, los elementos de una clase de todos los conjuntos. Pero no todas las clases son en sí mismos conjuntos. Un grupo tiene un conjunto subyacente. Un isomorfismo de clase de un grupo, aunque no es un conjunto, pero es una clase adecuada. Espero que esto ayude.