definiciones de varios espectros: $E^X$ y $E \wedge \Sigma^\infty X$

Question

Dejemos que $E=\{E_n\}$ sea un espectro dado por una secuencia de complejos CW puntuales $E_n$ e inclusiones $\Sigma E_n \to E_{n+1}$ . Sea $X$ un complejo CW puntiagudo. Tenía unas cuantas preguntas muy ingenuas mientras intentaba leer la conferencia 4 de los apuntes de Lurie aquí en las teorías de cohomología compleja orientada:

1. Cuál es la definición del espectro $E^X$ ? Quería saber qué es como secuencia de espacios, pero quizás sea mejor pensar en ello a través de su propiedad definitoria de ser un espacio de trayectoria, ¿qué es? Mis conjeturas eran que era un isomorfismo entre espacios de morfismo en la categoría de homotopía estable de los espectros $$[F, E^X]=[F \wedge \Sigma^\infty X ,E]$$ para cada espectro $F$ ? O quizás es $$[\Sigma^\infty Y, E^X]=[Y \wedge X, \Omega^\infty E]$$ para cada complejo CW $Y$ , donde $[Y \wedge X, \Omega^\infty E]$ son clases de homotopía de mapas basados entre espacios topológicos basados.

2. ¿Cuál es el enésimo espacio de $E \wedge \Sigma^\infty X$ ? ¿Es diferente del espectro cuyo $n$ -el espacio es $E_n \wedge X$ ?

3. Existe una función $S^1 \wedge E \to \Sigma E$ dados por los mapas de estructura de $E$ . ¿Es un isomorfismo en la categoría de homotopía estable? (No veo por qué debería serlo).

Answer 1

Gracias por los cumplidos sobre las notas. Tienes razón en que cuando te introduces por primera vez en los espectros, es una buena idea centrarse en la categoría de homotopía estable y sus propiedades formales. Luego puedes jugar un poco y ver cómo la estabilidad es realmente útil para calcular cosas. Creo recordar que Ravi Vakil dijo algo así: no hace falta saber qué hay debajo del capó para conducir el coche.

Sus preguntas 1) y 3) son sobre la categoría de homotopía estable, por lo que no dependen de la elección del modelo. Tus dos ecuaciones en 1) son correctas. Para la 3), existe efectivamente un isomorfismo entre $S^1 \wedge E$ y $\Sigma E$ en la categoría de homotopía estable.

Por desgracia, no se puede hacer todo con la categoría de homotopía. Al final necesitas algún tipo de modelo con el que trabajar. Yo prefiero los prespectos y los espectros ortogonales, pero también hay muchos otros modelos.

En la categoría de prespectos, su pregunta 2) es correcta. $E \wedge X$ es un espectro que en el nivel $n$ es $E_n \wedge X$ . El espectro cartográfico $E^X$ es un espectro que en el nivel $n$ es $Map_*(X,E_n)$ . (Se considera de buena etiqueta hacer $E$ un $\Omega$ -espectro primero antes de tomar los mapas de $X$ .)

Para 3), al definir este mapa explícitamente, depende de lo que se entienda por $\Sigma E$ . Suelo entenderlo como $S^1 \wedge E$ por lo que estos dos espectros ya son isomorfos por definición.

En su lugar, podría referirse a $sh E$ , un espectro con los niveles desplazados: $(sh E)_n = E_{n+1}$ . Ahora bien, esto es isomorfo a $\Sigma E$ en la categoría de homotopía estable, pero es más difícil hacer explícito ese isomorfismo a nivel de prespectra. Si se intenta utilizar los mapas estructurales de $E$ para definir un mapa $S^1 \wedge E \rightarrow sh E$ no obtendrá un mapa de prespectra.

(Esto se puede arreglar, pero es un poco doloroso. Puedes voltear la coordenada de suspensión de tu mapa en todos los niveles de grado impar, entonces todo conmuta hasta la homotopía, dando un "mapa débil" de prespectra. Entonces añades una tonelada de cilindros para seguir esas homotopías. El resultado es un zig-zag de equivalencias de prespectra entre $S^1 \wedge E$ y $sh E$ .)