Se puede colocar $15$ enteros alrededor de un círculo, tales que la suma de todos los $4$ números consecutivos es $1 $ o $ 3$?

Question

He encontrado esta pregunta en ruso Olimpiada libro y me ha dejado completamente estupefactos. A pesar de que me han hecho preguntas sobre conceptos abstractos como el de la Paloma Agujero principio, pero aún porque soy nuevo en tales conceptos no he sido capaz de siquiera empezar a pensar en la solución.

La pregunta dice así:

Se puede colocar $15$ enteros alrededor de un círculo, tales que la suma de todos los $4$ números consecutivos es $1 $ o $ 3$?

La cuestión no pone restricciones sobre la distinción de los números enteros y se ha enmarcado exactamente de la misma manera.

Answer 1

No es posible. Proceder por contradicción, supongamos que tenemos un arreglo,$\{a_n\}_{n=1}^{15}$. Teniendo en cuenta todos los $15$ sumas posibles de $4$ valores consecutivos, decimos que hay $n$ que añadir a $3$ $m$ que añadir a $1$. De curso $$n+m=15$$

Deje $\sum a_n$ ser la suma de todos los enteros en su círculo. Claramente, cada número entero aparece en exactamente $4$ sumas. Por lo tanto $4\sum a_n$ es la suma de todas las diferentes sumas de $4$ enteros consecutivos. Por lo tanto $$4\sum a_n=3n+m$$

Restando nuestra primera ecuación, a partir de esto vemos que $$2n=4\sum a_n-15$$ which is impossible (as $15$ es impar).