Realiza la siguiente suma convergen?

Question

Deje $u \in L^2(\mathbb{R})$. Es esto suficiente para concluir que la secuencia de $n \mapsto \int_{\mathbb{R}} \left\lvert u(x) \right\rvert e^{- \left\lvert x-n \right\rvert} dx$ es de square-summable, es decir,

$$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \int_{\mathbb{R}} \left\lvert u(x) \right\rvert e^{- \left\lvert x-n \right\rvert} dx \right)^2 < \infty$$

Answer 1

Sí.

Por Hölder tenemos $$\left(\int\limits_{\mathbb R}|u(x)|e^{-|x-n|}dx\right)^2\leq \left(\int\limits_{\mathbb R}|u(x)|^2 e^{-|x-n|}dx\right)\left(\int\limits_{\mathbb R}e^{-|x-n|}dx\right)\leq 2\int\limits_{\mathbb R}|u(x)|^2 e^{-|x-n|}dx.$$ Ahora \begin{align} \sum_{n=1}^\infty \int\limits_{\mathbb R}|u(x)|^2 e^{-|x-n|}dx&=\sum_{n=1}^\infty \sum_{k\in\mathbb Z}\int\limits_{k}^{k+1}|u(x)|^2 e^{-|x-n|}dx\\ &\lesssim\sum_{n=1}^\infty \sum_{k\in\mathbb Z}e^{-|k-n|}\int\limits_{k}^{k+1}|u(x)|^2 dx\\ & =\sum_{k\in\mathbb Z}\int\limits_{k}^{k+1}|u(x)|^2 dx\sum_{n=1}^\infty e^{-|k-n|}\\ &\lesssim\sum_{k\in\mathbb Z}\int\limits_{k}^{k+1}|u(x)|^2 dx\\ &=\|u\|_{L^2(\mathbb R)}^2 \end{align} donde los dos se $\lesssim$ (es decir, la desigualdad de hasta un constante) son verdaderas porque $$e^{-|x-n|}\leq e^{-|k-n|+1}\quad\text{for}\quad x\in [k,k+1]$$ y para cualquier $k$ $$\sum_{n=1}^{\infty} e^{-|k-n|}<\sum_{l\in\mathbb Z} e^{-|l|}<2\sum_{l=0}^\infty e^{-l}=2\frac{e}{e-1}.$$