Cómo mostrar que $f : \mathbb{R}^n → \mathbb{R}^n$, $f(x) = \frac{h(\Vert x \Vert)}{\Vert x \Vert} x$, es un diffeomorphism en el abierto de la unidad de la bola?

Question

Podría alguien ayudarme con el siguiente problema?

El problema

Fix $\varepsilon \in (0, 1)$ y elija una función suave $h$ $[0,\infty)$ tal que $h'(t) > 0$ para todos los $t ≥ 0$, $h(t) = t$ para $t \in [0, \varepsilon]$, $h(t) = 1 − \frac{1}{\ln t}$ para todos los $t$ lo suficientemente grande.

(Usted no tiene que explicar por qué dicha función existe.)

Considerar el mapa $f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$, $f(a) = \frac{h(\lVert a \rVert)}{\lVert a \rVert} a$, donde $\lVert a \rVert = \sqrt{ (a^1)^2 + \cdots + (a^n)^2}$ es lo habitual en la norma Euclídea.

Mostrar que $f$ es un diffeomorphism de $\mathbb{R}^n$ sobre el aparato abierto balón $B \subset \mathbb{R}^n$.

Lo que tengo hasta ahora (véase la edición de abajo)

Con el fin de mostrar que el $f$ es un diffeomorphism es suficiente para demostrar que

1. $f \in C^{\infty}$,
2. el Jacobiano es nada cero,
3. $f$ es un bijection.

He demostrado que $f$ es un bijection en $B$.

También he mostrado que $f = id$, la función identidad, en $\overline{B_{\varepsilon}(0)}$ (es decir, la bola cerrada con radio de $\varepsilon$ centrada en el origen).

Pero ¿qué pasa fuera de la $\overline{B_{\varepsilon}(0)}$? Allí no sabemos mucho acerca de los $h$, y por lo que encontrar el Jacobiano no es tan fácil.

Debo mirar a las siguientes derivadas parciales con el fin de averiguar el Jacobiano? $$\frac{\partial f^i}{\partial x^j} = \frac{\partial \frac{h(\lVert x \rVert)}{\lVert x \rVert} x^i}{\partial x^j}$$

Cualquier ayuda es muy apreciada!

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Editar:

Tenemos que $h^{-1}$ es diferenciable (incluso suave desde $h$ es suave) y sus derivados por el Teorema de la Función Inversa. También tenemos que $\Vert f(x) \Vert = h(\Vert x \Vert )$, e $\frac{f(x)}{\Vert f(x)\Vert } = \frac{x}{\Vert x\Vert }$. Por lo $f$ es un bijection, con $f^{-1}(x) = h^{-1}(\Vert x\Vert )\frac{x}{\Vert x\Vert }$.

Ahora, me estaba preguntando, ya que tenemos que

1. $f$ es un bijection,
2. $f \in C^{\infty}$ (ya que es una composición de $C^{\infty}$-funciones), y
3. $f^{-1} \in C^{\infty}$ (ya que también es una composición de $C^{\infty}$-funciones),

¿no se sigue que $f$ es un diffeomorphism?

Answer 1

Que $f$ $\mathcal C^\infty$ ya has hecho: en una pelota en el origen, es (=identidad), fuera de que la bola de $\|x\|$ es suave nunca de fuga y, a continuación, $f$ es el conposite de las funciones lisas. Para comprobar $f$ es local diffeo, es decir, su derivada en cada punto de $a$ es lineal iso, sugiero la siguiente estrategia. Fijar un punto de $a\in\mathbb R^n$, que podemos suponer $a\ne0$ (debido a que alrededor del origen $f$ es la identidad, por lo tanto suave). Ahora piensa en $\mathbb R^n$ como la suma de la línea de $L$ a través de $a$ y el origen y la hyperplane $H$ ortogonal a $a$. Tenga en cuenta que $L$ es el espacio de la tangente a la línea en $a$ $H$ es el espacio de la tangente a la esfera $S:\|x\|=\|a\|$$a$. Por lo tanto se puede describir el derivado $d_af$$f$$a$$d_a(f|S)$$d_a(f|L)$. Por lo tanto:

(i) Por $x\in S$ tenemos $f(x)=\frac{h(\|a\|)}{\|a\|}x$ que un homothety, de ahí su propio derivado en $H$,

(ii) Para $x=ta\in L$, $t>0$, tenemos $g(t)=f(x)=\frac{h(t\|a\|)}{\|a\|}t\|a\|=th(\|a\|t)$. Esta una función de variable puede ser fácilmente derivada para obtener $g'(t)=h(\|a\|t)+\|a\|h'(\|a\|t)>0$ por la hipótesis de $f$.

Por lo tanto $d_af$ es un homothety en $H$ y otro en $L$, todo en un lineal iso en $\mathbb R^n$.